Программа курса Раздел «Теория вероятностей»

1. Предмет теории вероятности и основные понятия

Сущность и условия применения теории вероятностей. Элементы комбинаторики (n!, сочетания, перестановка).

Понятие опыта, достоверного, невозможного и случайного события. Виды событий. Классическое, аксиоматическое и частотное определения вероятности.

2. Основные теоремы теории вероятностей

Теорема о сложении вероятностей. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность хотя бы одного события.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Повторные испытания. Схема Бернулли. Формулы Бернулли и Пуассона.

3. Дискретные и непрерывные случайные величины

Дискретная и непрерывная случайные величины и их характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

4. Модели законов распределения вероятностей

Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение.

5. Системы случайных величин

Законы распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами.

6. Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствия. Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона и Ляпунова. Значение теоремы Чебышева для практики.

7. Цепи Маркова

Понятие случайного процесса. Марковский процесс и цепь Маркова.

Цепи Маркова с конечным числом состояний и дискретным временем. Однородные и эргодические цепи Маркова.

Раздел «Математическая статистика»

1. Основные понятия и задачи математической статистики

Задачи математической статистики. Способы отбора данных

Генеральная совокупность и выборки. Оценки генеральной совокупности и выборочные оценки. Распределение частот. Теоретическая и эмпирическая функции распределения. Полигон и гистограмма.

2. Статистическое оценивание

Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Виды статистических оценок: несмещенные, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.

Законы распределения выборочных характеристик: Пирсона (хи квадрат), Стьюдента (t-распределение), Фишера (F-распределение).

Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Интервальные оценки для параметров нормального закона распределения.

3. Проверка статистических гипотез

Сравнение двух средних. Сравнение двух дисперсий. Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона.

4. Регрессионный анализ

Задачи регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия с несгруппированными данными. Линейная регрессия со сгруппированными данными. Двумерная линейная регрессионная модель.

5. Дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ с постоянными эффектами. Схема однофакторного дисперсионного анализа. Множественное сравнение средних.

Раздел «Математические модели в экономике»

1. Спрос и предложение Явная и неявная формы функции спроса и предложения. Графическое представление. Измерение наклона кривой спроса и кривой предложения.

2. Ценовая эластичность спроса

Определение эластичности. Измерение ценовой эластичности спроса по цене. Перекрестная эластичность спроса по цене. Эластичность спроса по доходу.

3. Паутинообразная модель рынка одного товара

Определение ситуации на рынке с использованием дискретного анализа. Допущения и общий вид модели. Модель с включением запасов.

4. Функция полезности и кривые безразличия

Кривые безразличия: графическое представление. Функции полезности для различных благ. Порядковый и количественный подходы к анализу полезности. Аксиомы потребительского поведения.

5. Предельная норма замещения (для различных благ)

Определение предельной нормы замещения в теории потребительского поведения: графическая иллюстрация и аналитическая интерпретация.

6. Бюджетное ограничение и оптимальный выбор потребителя

Уравнение бюджетной линии (бюджетное ограничение). Определение оптимума потребителя. Угловое решение.

7. Необходимое и достаточное условия равновесия потребителя

Функция Лагранжа (при заданном наборе благ и функции полезности), определение полезности неизрасходованной суммы денег. Необходимое и достаточное условия равновесия потребителя.

8. Эффект дохода и замещения по Е. Слуцкому и Дж. Хиксу. Перекрестные эффекты

Определение вспомогательного набора по Е. Слуцкому и Дж. Хиксу (эффект дохода и замещения). Перекрестные эффекты. Кривая компенсированного спроса.

9. Издержки производства

Издержки производства (определение, виды, взаимосвязи). Функция издержек. Издержки в краткосрочном и долгосрочном периоде.

10. Показатели дохода. Взаимосвязь валового и предельного дохода

Доход фирмы: показатели дохода. Предельный доход (на дуге, в точке). Взаимосвязь валового и предельного дохода.

11. Производственная функция и ее свойства

Графическая и аналитическая интерпретация производственной функции. Свойства производственной функции: взаимодополняемость факторов производства, аддитивность, делимость, отдача от масштаба.

Производство с одним переменным фактором. Средняя и предельная производительность.

12. Эффективность технологии. Замещаемость производственных факторов

Определение эффективности технологии. Замещаемость производственных факторов. Производственная функция Кобба-Дугласа.

13. Эластичность замены факторов производства для различных функций (аналитическая и экономическая интерпретация)

Эластичность замены как мера пределов осуществимости замены капитала трудом или труда капиталом. Значения эластичности. Два крайних и общий случай замещения факторов производства.

14. Изокоста и оптимум производителя

Изокоста – прямая равных издержек. Наклон изокосты. Условие оптимума производителя.

15. Минимизация издержек фирмы. Метод Лагранжа

Издержки фирмы: условие минимизации издержек. Метод Лагранжа.

16. Рынок монополии

Характерные черты рынка монополии. Спрос и предельный доход монополиста. Условие максимизации прибыли. Монопольная власть и показатели монопольной власти.

Ценовая дискриминация первой, второй и третьей степени. Потери потребителя, переходящие в доход продавца.

Вопросы к зачету

1. Элементы комбинаторного анализа.

2. Сущность и условия применения теории вероятностей.

3. Основные понятия теории вероятностей.

4. Вероятностное пространство.

5. Непосредственный подсчет вероятности.

6. Теоремы сложения вероятностей.

7. Теоремы умножения вероятностей.

8. Формула полной вероятности.

9. Теорема Байеса.

10. Формула Бернулли.

11. Случайные величины, способы их описания.

12. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

13. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин.

14. Равновероятностный закон распределения вероятностей.

15. Закон распределения вероятностей Пуассона.

16. Биномиальный закон распределения вероятностей.

17. Экспоненциальный закон распределения вероятностей.

18. Нормальный закон распределения вероятностей.

19. Цепи Маркова.

20. Матрица переходных вероятностей.

21. Неравенство Чебышева.

22. Закон больших чисел и его следствие.

23. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.

24. Генеральная и выборочная совокупность.

25. Статистическое оценивание параметров дискретных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

26. Статистическое оценивание параметров непрерывных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

27. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность, эффективность и надежность оценки.

28. Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза. Ошибки первого и второго рода.

29. Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений.

30. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.

31. Проверка статистической гипотезы об однородности дисперсий.

32. Проверка статистической гипотезы о статистической взаимосвязи.

33. Линейное однофакторное уравнение регрессии

34. Линейное многофакторное уравнение регрессии.

35. Схема однофакторного дисперсионного анализа.