9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений

Кроме задачи Коши, важными в теории дифференциальных уравнений являются краевые задачи, в которых условия, наложенные на решение, задаются не в одной точке , как в случае задачи Коши, а на концах отрезка , внутри которого ищется искомое решение. Геометрически в краевых задачах речь идет об отыскании интегральной кривой дифференциального уравнения, концы которой находятся в точках с абсциссами x = a и x = b.

Пусть, например, является интегральной кривой некоторого дифференциального уравнения второго порядка. Тогда для него простейшие краевые (граничные) условия имеют вид

, ,

где А и В  заданные числа. Более общими граничными условиями являются соотношения

связывающие значения искомой функции и ее производной в точках a и b. Здесь , ₁, , ₁ – заданные действительные числа, причем  и ₁;  и ₁ одновременно не равны нулю.

Краевая задача может иметь единственное решение, либо бесконечное множество решений, либо не иметь решения.

Пример 9.13.1. Решить краевую задачу , , .

Решение. , ,

т.е. – искомое единственное решение.

9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Определение 9.14.1. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных , т.е. имеет вид:

,

где – заданные функции от х или постоянные, причем для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение . В дальнейшем будем предполагать, что функции и непрерывны при всех значениях х и, что коэффициент (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функцию , стоящую в правой части уравнения, будем называть правой частью уравнения.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным (левая часть этого уравнения является однородной функцией первого порядка относительно , так как ).

9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений на примере уравнений второго порядка.

Теорема 9.15.1. Если у₁ и у₂  два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

,

то у₁ + у₂ будет решением этого уравнения.

Доказательство. Так как у₁ и у₂ – решения , то

, .

Подставим у₁ + у₂ в левую часть :

, т.е. у₁ + у₂ тоже решение уравнения .

Теорема 9.15.2. Если у₁ - решение уравнения и С  постоянная, то Су₁ будет тоже решением этого уравнения.

Доказательство.

.

Определение 9.15.1. Два решения уравнения у₁ и у₂ будем называть линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если . В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Иными словами, два решения у₁ и у₂ называются линейными зависимыми на , если , что при . В этом случае .

Пример 9.15.1. Пусть дано уравнение . Легко проверить, что функции , , 3 , 5 будут решениями этого уравнения. При этом функции и линейно независимы на любом отрезке, так как при изменении х. Функции же и 3 линейно зависимы, так как .

Определение 9.15.2. Если у₁ и у₂  функции от х, то определитель

называется определителем Вронского, или вронскианом данных функций.

Для трех функций и т.д.

Теорема 9.15.3. Если функции у₁ и у₂ линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.

Доказательство. Действительно, если , где , то и

.

Теорема 9.15.4. Если решения у₁ и у₂ уравнения линейно независимы на отрезке , то определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Заметим, что теорема верна для дифференциального уравнения любого порядка до n включительно. Доказательство теоремы не приводим.

Теорема 9.15.5 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если у₁ и у₂ – два линейно независимых решения уравнения , то

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство. Из теорем 9.15.1 и 9.15.2 следует, что функция будет решением при любых значениях С₁ и С₂.

Докажем далее, что каковы бы ни были начальные условия , , можно так подобрать значения произвольных постоянных С₁ и С₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло эти начальным условиям.

Подставляя начальные условия в , , будем иметь:

Из системы можно найти и единственным образом, так как определитель этой системы в силу линейной независимости у₁ и у₂. Частное решение будет удовлетворять начальным условиям. Теорема доказана.

Для уравнения общее решение имеет вид

,

где у₁, у₂, …, y_n – линейно независимые на функции, т.е. .

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения (однородного и неоднородного) с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такие методы существуют. Мы их сейчас и рассмотрим.