9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Определение 9.2.1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y(x) и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно).

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

.

Если уравнение можно записать в виде

,

то будем говорить, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной. Оно называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция y зависит от одной переменной x, называется обыкновенным. Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в частных производных. В данном модуле мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения и слово «обыкновенные» будем в дальнейшем опускать.

Определение 9.2.2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, входящей в уравнение.

Так, соотношения и – дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение – второго порядка, а уравнение является дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Определение 9.2.3. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Пример 9.2.1. Пусть дано уравнение .

Функция y = sin x, y = 2cos x, y = 3sin x  cos x и вообще функции вида y = C₁ sin x, y = C₂ cos x или y = C₁ sin x + C₂ cos x являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных С₁ и С₂; в этом легко убедиться, подставив указанные функции и их вторые производные в уравнение.

Всякому решению дифференциального уравнения или на плоскости отвечает некоторая кривая

y = y(x), x  (a, b),

которая называется интегральной кривой (линией) дифференциального уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесчисленное множество решений (задачи 9.1.1 – 9.1.3 и пример 9.2.1 подтверждают это). Чтобы выделить какое-то одно решение дифференциального уравнения, необходимо задание некоторых дополнительных условий. Таким условием для уравнения является задание точки (x₀, y₀) плоскости XOY, через которую должна проходить интегральная кривая этого уравнения. В задаче 9.1.2 для дифференциального уравнения этими условиями явились начальный путь S = 0 при t = 0 и начальная скорость v = v₀ при t = 0. В задаче 9.1.3 – начальная стоимость оборудования А = А₀ при t = 0.

9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

При n = 1 соотношение определяет уравнение

, y = y(x),

называемое дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение

,

где f(x, y)  известная функция двух переменных x, y, называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной , или дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Соотношение

,

где P(x, y) и Q(x, y)  заданные функции, также называют дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Заметим, что уравнение с учетом равенства может быть записано в виде

.

С другой стороны, если , то из соотношения приходим к уравнению

вида , где .

Уравнение имеет бесконечное число решений. Чтобы из этого множества выделить одно, так называемое, частное решение, надо задать некоторые дополнительные условия. Таким условием, определяющим частное решение, является начальное условие, или условие Коши

(или ).

Задача отыскания частного решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши для этого уравнения.

С геометрической точки зрения задача Коши для дифференциального уравнения означает следующее: требуется из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (рис.9.3.1).

Возникает вопрос, при каких условиях существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию Коши, и если существует, то является ли оно единственным. Ответ на этот вопрос для уравнения дает

Теорема 9.3.1. (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть функция определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную в области D. Тогда найдется интервал , на котором существует единственное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию (рис.9.3.2).

Доказательство теоремы опускаем. Сделаем лишь несколько замечаний. Единственность задачи Коши понимается в таком смысле: если условия теоремы выполнены и имеются два решения и уравнения такие, что , то существует интервал , в каждой точке которого . Теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование решения и единственность его лишь на некотором интервале .

Если условия теоремы не выполнены, то через точку может проходить не одна, а несколько интегральных линий дифференциального уравнения .

Часто в теории дифференциальных уравнений вводятся понятия общего и частного решений.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области D существования и единственности решения задачи Коши называется семейство функций вида , зависящее от параметра С и удовлетворяющее условиям:

1. функции являются решением уравнения при любом допустимом значении параметра С;

2. при любом начальном условии можно указать параметр С₀ такой, что функция удовлетворяет условию .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения, при конкретном значении параметра С. Частное решение определяется задачей Коши для этого уравнения.

Часто общее решение дифференциального уравнения получается в виде уравнения, не разрешенного относительно x и y,

.

Оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

При фиксированном значении общий интеграл превращается в частный интеграл .

Решение дифференциального уравнения , в каждой точке которого из области существования решения нарушается свойство единственности, т.е. через каждую точку проходит еще и другая интегральная линия этого уравнения, называется особым.