- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение
,
линейное относительно неизвестной функции и ее производной (т.е. содержащее у и в первой степени), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Здесь p(x) и f(x) – непрерывные на функции, либо постоянные числа.
Если , то уравнение
называется линейным однородным дифференциальным уравнением (левая часть этого уравнения является однородной функцией относительно у и , так как ). Если , то уравнение называется неоднородным.
Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них.
Метод подстановки (Бернулли)
По этому методу искомое решение уравнения будем искать в виде
,
где и - некоторые непрерывно дифференцируемые функции. Подставляя y = uv и в , получаем
или
.
Выберем функцию таким образом, чтобы
,
после чего от уравнения остается
.
В результате получили систему двух уравнений
Сначала решаем первое уравнение системы, которое является линейным однородным дифференциальным уравнением относительно v и . Покажем, что оно, в то же время, и уравнение с разделяющимися переменными.
.
Подставляя функцию v во второе уравнение системы , получаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными
, откуда
.
Таким образом, , т.е.
.
Так как С1 и С2 – произвольные постоянные, то С1С2 тоже произвольная постоянная, которую можно обозначить через С. В итоге получаем, что общим решением неоднородного дифференциального уравнения будет
.
Поскольку при перемножении функций и постоянная С1 во втором слагаемом сократилась, то в качестве функции можно было взять .
Пример 9.6.1. Решить уравнение .
Решение. Пусть y = uv, . Тогда
.
Составим систему
Решаем первое уравнение (постоянную здесь не берем).
Подставляем во второе уравнение системы .
В итоге находим, что общее решение данного уравнения
, .
Метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа)
Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Разделив в нем переменные, получим
,
где С – произвольная постоянная.
По методу вариации (в переводе на русский язык, изменения) произвольной постоянной общее решение неоднородного уравнения ищется в виде
,
в котором – неизвестная дифференцируемая функция.
Найдем
. Подставляя y и в , получаем
,
откуда
.
Итак, функция найдена. Подставляя ее в , находим общее решение уравнения
,
совпадающее с решением .
Пример 9.6.2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. В начале решаем соответствующее однородное уравнение .
В соответствии с методом Лагранжа общее решение ищем в виде . Находим . Тогда и , или будет общим решением данного уравнения. Из условия имеем .
Итак, искомым частным решением данного уравнения, удовлетворяющим начальному условию , является функция .
Общее решение уравнения можно сразу найти по формуле , подставив туда и и взяв три интеграла.
Замечание. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами
,
где a и b – постоянные. Его можно решить путем разделения переменных:
.