- •Учебный модуль №10 «ряды» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Ряды» «Важные сведения из пределов»
- •Ряды «эталоны»
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряд Фурье
- •10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
- •10.2. Простейшие свойства числовых рядов
- •10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд
- •10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения
- •10.5. Признаки Даламбера и Коши
- •10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
- •10.8. Функциональные ряды. Область сходимости
- •10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов
- •10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •10.12. Разложение по степеням х функций
- •10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
- •10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на
- •10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций
- •Вопросы к экзамену по модулю №10
Ряды «эталоны»
1. Ряд Дирихле
(обобщенный гармонический ряд)
-
2. Геометрическая прогрессия
, .
П ризнак Даламбера. Пусть задан знакоположительный ряд . Тогда if , то
Р адикальный признак Коши. Пусть задан знакоположительный ряд . Тогда if , то
Интегральный признак Коши. Пусть для знакоположительного ряда $ положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке функция такая, что . Тогда ряд и сходятся или расходятся одновременно.
Знакопеременные ряды
Пусть задан знакопеременный ряд (1), где an – числа произвольного знака. Тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и данный ряд, при этом он называется абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то он называется условно сходящимся.
Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд . Тогда, if выполняются условия: , то данный ряд сходится и его сумма .
Степенные ряды
или , if .
(-R, R) – интервал сходимости, при х=-R и х=R ряд исследуется дополнительно.
Ряд Фурье
,
, , .
Если 2 - периодическая функция f(х) кусочно-монотонная и ограниченная, то ряд справа сходится, именно, к этой функции f(х).
Если f(х) – четная функция, то она раскладывается в ряд Фурье только по косинусам, при этом , , ;
если f(х) – нечетная функция, то она раскладывается только по синусам, при этом , , .
Если – периодическая функция f(х) задана на , то ряд Фурье имеет вид:
, где
, , .
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
Рассмотрим числовую последовательность
Определение 10.1.1. Бесконечная сумма
называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а число an – n-м членом или общим членом ряда.
Кратко числовой ряд обозначается символом .
Определение 10.1.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда
.
Рассмотрим последовательность частичных сумм , где
,
,
…………..
,
,
………………………..
Определение 10.1.3. Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой этого ряда.
Итак, по определению, ряд сходится к сумме S, если . В этом случае пишут
.
Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Пример 10.1.1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
Сумма ее n первых членов равна
.
Если , то при n и, следовательно,
.
Значит, в случае ряд сходится и его сумма .
Если , то при n и тогда при n . Таким образом, при ряд расходится.
Если , то ряд имеет вид
,
в этом случае и , т.е. ряд расходится.
Если , то ряд имеет вид
В этом случае и предела не имеет ряд расходится.
Таким образом, ряд , составленный из членов геометрической прогрессии, сходится, если , и расходится при .
Пример 10.1.2. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Общий член этого ряда раскладывается на простейшие дроби следующим образом: . Тогда
.
Так как , то искомый ряд сходится и его сумма S=1.
Суммой двух рядов и называется ряд
.
Произведением ряда на действительное число называется ряд .
Пусть ряд сходится к сумме S. Перепишем равенство в виде и обозначим Это выражение, представляющее собой новый ряд, называется остатком ряда . Таким образом, для сходящегося ряда имеет равенство
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 10.1.1. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство теоремы вытекает из определения суммы ряда и равенства .