- •Учебный модуль №10 «ряды» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Ряды» «Важные сведения из пределов»
- •Ряды «эталоны»
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряд Фурье
- •10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
- •10.2. Простейшие свойства числовых рядов
- •10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд
- •10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения
- •10.5. Признаки Даламбера и Коши
- •10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
- •10.8. Функциональные ряды. Область сходимости
- •10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов
- •10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •10.12. Разложение по степеням х функций
- •10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
- •10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на
- •10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций
- •Вопросы к экзамену по модулю №10
10.12. Разложение по степеням х функций
, sin x, cos x,
Рассмотрим примеры разложения некоторых функций в ряд Маклорена.
, а = 0.
Так как , а , то
,
где .
Покажем, что для любого х. Для этого рассмотрим степенной ряд и покажем, что он абсолютно сходится для всех . Действительно, .
Так как ряд сходится для всех х, то из необходимого признака сходимости следует, что для всех .
Функция для всех х 0 удовлетворяет неравенству
.
Если , то , так как 0 < < 1.
Тогда , как произведение функции ограниченной на бесконечно малую.
Следовательно, для всех значений х полученный ряд Маклорена сходится и представляет функцию .
, а = 0.
, ,
, , …,
.
Тогда , , , , , … и мы имеем разложение в ряд Маклорена
,
где (С находится между 0 и х).
, так как , а .
, а = 0.
Аналогично, как в предыдущем примере, получаем
,
где (С находится между 0 и х).
Очевидно, .
Биномиальный ряд и его частные случаи.
Разложим в ряд Маклорена функцию , где m - произвольное постоянное число.
Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности, и потому к оценке условий разложимости подойдем несколько иначе.
Сначала формально найдем коэффициенты разложения в ряд Маклорена. ; ;
;
,
………………………………………………,
.
Поэтому
Этот ряд называется биномиальным, найдем его интервал сходимости.
.
Значит, ряд сходится абсолютно при . Покажем, что суммой этого ряда является .
В самом деле, нетрудно проверить, что функция f(x), определяемая биномиальным рядом, является решением задачи Коши для дифференциального уравнения , f(0)=1. Но решением этой же задачи является функция , так как и . Отсюда в силу единственности решения задачи Коши получаем , , т.е. биномиальный ряд сходится абсолютно в интервале (1, 1) к . На концах интервала для некоторых т ряд сходится, для некоторых расходится, об этом сказано в практической части модуля.
Заметим, что если m – целое положительное число, то биномиальный ряд превращается в бином Ньютона.
Рассмотрим частные случаи биномиального ряда:
при m = 1 получаем
;
при m = имеем
;
при m =
Применим разложение биномиального ряда к разложению других функций. Разложим в ряд Маклорена функцию .
Подставляя в последнее равенство вместо х выражение , получим
На основании теоремы об интегрировании степенных рядов получаем:
Этот ряд сходится для .
10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям
Приближенное вычисление значений функций
Допустим, что функция f(x) в окрестности точки х0 разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное ее значение f(x0) может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку можно оценивать при помощи остаточного члена , либо непосредственно оценивая остаток ряда. Если получился числовой ряд знакочередующимся, то по теореме Лейбница ошибка не превышает первого отброшенного члена ряда, взятого по абсолютной величине; в случае знакоположительного ряда подбирают другой ряд (обычно геометрическую прогрессию), члены которого больше членов остатка и сумму которого можно найти.
Пример 10.13.1. Вычислить с точностью до 10-4.
Решение. Имеем . Воспользуемся биномиальным рядом при , .
Получили знакочередующийся ряд, остаток которого не превышает первого отброшенного члена. Так как , то с указанной точностью , так что .
Пример 10.13.2. Вычислить число е с точностью 10-5.
Решение. . Пусть х = 1.
.
Остаточный член имеет вид (0<<1).
Тогда .
Решая подбором n последнее неравенство, получим n = 8, т.е.
.
Покажем, как можно оценивать ошибку, пользуясь остатком ряда.
.
Получилась оценка в три раза более точная, чем .
Вычисление определенных интегралов
Существуют определенные интегралы, у которых первообразные от подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции. Такие интегралы иногда удобно вычислять приближенно с помощью рядов. Покажем на примере, как это делается.
Пример 10.13.3. Вычислить .
Решение. Здесь первообразная от не является элементарной функцией. Используем разложение (- < x < ).
Пусть , тогда (- < x < ), а
С помощью этого равенства можно для любого а вычислить данный интеграл с любой заданной точностью.
Применение рядов к решению дифференциальных уравнений
Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам. Одним из таких методов является представление решения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.
Пусть, например, требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Допустим, что решение у = f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора
Нам нужно найти f(x0), f(x0), f''(x0), …. Это можно сделать при помощи условий и уравнения .
Действительно, из условий следует
;
из уравнения получаем
.
Дифференцируя обе части уравнения по х, получим
и, подставляя значения , , и , получаем
.
Дифференцируя соотношение еще раз, найдем
и.т.д.
Найденные значения производных подставляем в равенство . Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.
Пример 10.13.4. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1, у(0)=2.
Решение. Имеем f(0)=1, f(0)=2.
Из данного уравнения находим ;
далее , ;
, ;
, .
…………………………………………………………
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем приближенное решение
Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения по методу неопределенных коэффициентов. Для этого подставляем ряд в дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х, в обеих частях уравнения.
Пример 10.13.5. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 0, у(0) = 1.
Решение. Решение ищем в виде степенного ряда
На основании начальных условий находим С0 = 0, С1 = 1.
Следовательно,
,
,
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
, откуда С2=0,
, откуда С3=1,
, откуда С4=0,
…………………………………………………………..
, откуда .
………………………………………………………………….
Следовательно,
, , , …,
, … .
С4=0, С6=0, …, С2n=0, … .
Подставляя найденные коэффициенты, получаем искомое решение
Полученный ряд сходится при всех значениях х.
Заметим, что найденное частное решение можно выразить через элементарные функции: вынося х за скобку, получим в скобках разложение в ряд функции . Следовательно, .