10.2. Простейшие свойства числовых рядов

Свойство 10.2.1. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.

Это свойство утверждает, что если ряд был сходящимся (расходящимся) до одной из перечисленных операций, то и после нее он будет сходящимся (расходящимся), хотя сумма его может измениться.

Свойство 10.2.2. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель , т.е., если ряд имеет сумму S, то ряд имеет сумму S.

Доказательство. Из того, что , получаем . Отсюда .

Свойство 10.2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитывать, т.е. если даны ряды и , то ряд сходится к .

Доказательство. В самом деле

.

Пример 10.2.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. . Ряды и представляют собой суммы геометрических прогрессий со знаменателями и , т.е. сходятся. Их суммы , . Тогда сумма всего ряда .

10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд

Теорема 10.3.1 (необходимое условие сходимости ряда).

Если ряд сходится, то

.

Доказательство. Пусть S – сумма ряда, т.е. . Так как , то .

Итак, если ряд сходится, то всегда выполняется условие . Если же условие не выполнено, то ряд расходится (легко доказывается методом от противного). Это является достаточным условием, или признаком, расходимости ряда.

Отметим, что условие не является достаточным условием сходимости ряда, т.е. из выполнения равенства не обязательно вытекает сходимость ряда (ряд может сходиться, может расходиться).

Покажем это на примерах.

Пример 10.3.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. , т.е. необходимое условие выполнено. Тем не менее этот ряд расходится. Действительно,

.

Отсюда , т.е. ряд расходится.

Пример 10.3.2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. . Ряд сходится, так как .

Пример 10.3.3. Рассмотрим так называемый гармонический ряд .

Для этого ряда необходимое условие сходимости выполнено, так его общий член при n ® ¥. Однако гармонический ряд расходится (в дальнейшем лекционном курсе при помощи интегрального признака Коши будет показано, что обобщенный гармонический ряд сходится при р > 1 и расходится при р £1 ).

10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения

Пусть задан ряд с положительными членами . Исследуем вопрос о его сходимости или расходимости.

Так как частичные суммы ряда с положительными членами образуют неубывающую последовательность (S₁<S₂<S₃<…), то этот ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

Теорема 10.4.1 (признак сравнения 1). Пусть для рядов и имеет место неравенство

(для всех n или начиная с некоторого N). Тогда:

1. если сходится ряд , то сходится и ряд ;

2. если расходится ряд , то расходится и ряд .

Признак утверждает, что при выполнении условия из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Доказательство.

1. Пусть ряд сходится и S – его сумма. Из соотношения следует неравенство

,

где – частичная сумма ряда , а – частичная сумма ряда . Из этого неравенства вытекает ограниченность сверху частичных сумм ( £ S) ряда . В таком случае неубывающая последовательность имеет предел, т.е. ряд сходится и его сумма s £ S .

2. Пусть ряд расходится. Если бы при этом ряд сходился, то по только что доказанному должен сходиться и ряд , что противоречит условию. Значит, ряд расходится.

При выполнении условий будем говорить, что ряд является мажорантным рядом, или мажорантой (оценкой) для ряда .

Пример 10.4.1. Ряд сходится, так как его члены не больше соответствующих членов ряда . Последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда . Следовательно, в силу теоремы 10.4.1 данный ряд тоже сходится, причем его сумма  < 1,5.

Пример 10.4.2. Ряд расходится, так как его члены, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда , который расходится.

Замечание 10.4.1. Признак сравнения 1 справедлив только для рядов с положительными членами. Он остается в силе, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда – нули. Однако этот признак перестает быть верным, если среди членов ряда есть отрицательные числа.

Замечание 10.4.2. Теорема 10.4.1 справедлива и в том случае, если неравенство начинает выполняться лишь для , а не для всех n = 1, 2, 3, …

Теорема 10.4.2 (предельный признак сравнения 2). Пусть члены рядов и положительны и

, .

Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример 10.4.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как при n  , то сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом (р=2>1), который сходится. Поскольку

, то по признаку сравнения 2 исходный ряд сходится.

Пример 10.4.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как , а ряд расходится, то расходится и данный ряд по признаку сравнения 2.