- •Физика колебаний и волн. Квантовая физика Учебное пособие
- •Программа
- •Требования к оформлению
- •Тема: Физика колебаний и волн
- •Механические колебания.
- •Решение уравнения (1) имеет вид
- •Электромагнитные колебания
- •Механические волны
- •Электромагнитные волны
- •Волновая оптика
- •Интерференция световых волн
- •Поляризация световых волн
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные задания
- •Варианты контрольных заданий
- •Тема: Квантовая физика Тепловое излучение
- •Фотоэффект
- •Давление света
- •Тормозное рентгеновское излучение
- •Эффект Комптона
- •Боровская теория атома водорода
- •Элементы квантовой механики Гипотеза де Бройля
- •Соотношение неопределенностей
- •Уравнение Шредингера. Волновая функция
- •Применение уравнения Шредингера
- •Ядерная физика Состав и характеристика атомного ядра
- •Радиоактивность
- •Альфа-распад
- •Бета-распад
- •Ядерные реакции
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные задания
- •Варианты контрольных заданий
- •Библиографический список
- •Содержание:
Тема: Физика колебаний и волн
Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны, напряжение между обкладками конденсатора в колебательном контуре и т. д.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т. д.
В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные или затухающие), вынужденные, параметрические и автоколебания.
Свободными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после выведения ее каким-либо способом из положения равновесия.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию.
Автоколебаниями называются такие колебания, при которых моменты времени, когда осуществляются внешние воздействия, задаются самой колеблющейся системой, т. е. система сама управляет внешним воздействием.
Параметрическими называются колебания, при которых за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы.
Простейшими являются гармонические колебания, то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, так как, во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Механические колебания.
1. Собственные колебания.
Собственными называются свободные колебания, возникающие в колебательной системе в отсутствие сил сопротивления (трения).
Колебания в подобной системе описываются уравнением вида
, (1)
а сама система называется гармоническим осциллятором.
Примерами гармонических осцилляторов могут служить пружинный, математический и физический маятники (Рис. 1).
Рис. 1
Пружинный маятник – тело массой m, прикрепленное к пружине с жесткостью k.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l.
Физический маятник – тело, совершающее колебания относительно оси О, находящейся на расстоянии l от его центра инерции С.
Для математического и физического маятников роль величины x в уравнении (1) играет угол отклонения от положения равновесия. При этом гармоническими являются только малые колебания маятников.
Решение уравнения (1) имеет вид
x xm соs (ot + ) , (2)
где xm – амплитуда колебания, наибольшее значение величины, совершающей колебания;
(0t + ) – фаза колебания;
– начальная фаза, т.е. фаза в момент t = 0;
0 – собственная круговая частота колебания (число колебаний за 2 секунд).
Используются также следующие понятия:
T – период колебания (время одного полного колебания). T = 2/0.
– частота колебания (число колебаний за 1 секунду): .
Для рассматриваемых осцилляторов периоды колебаний равны:
пружинного маятника ; (3)
для математического ; (4)
для физического . (5)
В формуле (5) величина I – момент инерции физического маятника относительно оси O.
Энергия гармонического осциллятора складывается из кинетической и потенциальной энергий и в любой момент времени остается постоянной:
E = kxm2/2 или E = m02xm2/2 . (6)
2. Свободные затухающие колебания
При малых колебаниях и небольших скоростях сила сопротивления среды пропорциональна величине скорости Fсопр = – rV, где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Тогда уравнение колебаний можно представить следующим образом:
, (7)
где ; 0 – собственная частота колебаний.
Решение уравнения (7) ( при условии 0> ) имеет вид
x = xm0e-tcos(t+), (8)
где . (9)
График этой функции дан на рис. 2.
Рис. 2
xm(t) = xm0e-t (10)
Для характеристики быстроты затухания колебаний применяется несколько величин:
– коэффициент затухания, величина обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз;
– время релаксации, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз: ;
- логарифмический декремент затухания. По определению – это натуральный логарифм двух последовательных амплитуд колебаний.
. (11)
По физическому смыслу – это величина, обратная числу колебаний, за время которых амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Связь его с коэффициентом затухания выражается формулой
; (12)
Q – добротность колебательной системы. По определению Q – это отношение числа к логарифмическому декременту затухания колебаний:
Q = / . (13)
Если в уравнении (7) 0, то колебания в системе невозможны. При выведении ее из положения равновесия происходит апериодический процесс возврата системы в исходное состояние.
3. Вынужденные колебания
Если вынуждающая сила, действующая на колебательную систему, изменяется по гармоническому закону
F = Fm cos(t) ,
то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно представить в виде
, (14)
где – коэффициент затухания , а 0 – собственная частота колебаний системы. Это неоднородное дифференциальное уравнение (с правой частью, не равной нулю). Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения такого вида представляет собой сумму общего решения однородного уравнения затухающих колебаний, рассмотренного ранее, и частного решения данного неоднородного уравнения. При этом первое убывающее слагаемое играет роль только во время установления колебаний. На рис. 3 показан примерный вид зависимости x(t), описываемой уравнением (14).
x = xmcos (t + ) (15)
П
Рис. 3
. (17)
Зависимость вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (16) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Исследование равенства (16) дает
. (18)
Рис. 4
4. Сложение гармонических колебаний
При сложении двух гармонических колебаний, одинаково направленных и одинаковой частоты, описываемых уравнениями
, (19)
результирующее колебание будет также гармоническим и иметь частоту 0:
x = xmcos(0t + ) , (20)
где амплитуда xm и начальная фаза равны соответственно:
(21)
При сложении двух гармонических колебаний одного направления с мало отличающимися частотами, которые задаются уравнениями
(22)
где , результирующее колебание является гармоническим с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.
Уравнение биений имеет вид
(23)
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, уравнения которых имеют вид
(24)
точка движется по траектории
(25)
В зависимости от разности фаз складываемых колебаний возможны частные случаи:
1. = 0 – точка движется по прямой
2. = – точка движется по прямой
В обоих случаях это гармоническое колебание, происходящее по закону
(26)
3. = /2 – точка движется по эллипсу, уравнение которого:
(27)