2. Поступальний та обертальний рух тіла

2.1. Довідкові дані

До простих рухів твердого тіла належать поступальний рух і обертальний рух навколо нерухомої вісі.

При поступальному русі будь-яка пряма, проведена в тілі, переміщується під час руху паралельно своєму початковому положенню. Всі точки тіла при поступальному русі мають однакові траєкторії, швидкості і прискорення. Тому при вивченні поступального руху тіла достатньо розглянути рух будь-якої його точки, застосувавши розрахункові формули кінематики точки. Поступальний рух тіла може бути як прямолінійним (рис. 1,б), так і криволінійним (рис. 1,а,в):

Рис. 1

Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі характеризується тим, що дві точки тіла, крізь які проходить вісь обертання, залишаються весь час нерухомими. Інші точки тіла рухаються по колах відповідних радіусів в площинах, перпендикулярних вісі обертання.

Положення твердого тіла визначається кутом повороту , який являє собою закон обертання тіла.

Загальні кінематичні характеристики обертального руху тіла - кутова швидкість (рад/с) (рис. 2,а)

Рис.2

кутове прискорення (рад/с²).

Кутову швидкість та прискорення позначають на розрахункових схемах дуговими стрілками, або векторами та , що напрямлені уздовж осі обертання тіла по правилу правого гвинта.

Два найважливіших окремих випадки:

Обертання твердого тіла рівномірне ( ) та рівнозмінне – прискорене або сповільнене ).

При обчисленні користуються також формулою

,

де N - загальне число обертів, (для рівномірного руху, де n-число обертів за хвилину).

Переміщення s , швидкість v , та прискорення w будь-якої точки тіла, що знаходиться на відстані R від осі обертання, визначаються за формулами:

(м) – переміщення, (дуга траєкторії);

(м/с) – швидкість (напрямлена по дотичній до траєкторії, тобто перпендикулярно R , в бік ) (рис. 2,б);

,

де (м/с²) – дотичне прискорення (напрямлене по дотичній ( в бік ); (м/с²) – нормальне прискорення (напрямлене по радіусу до осі обертання);

повне прискорення (рис. 2, б):

= .

Передаточні механізми призначені для перетворення обертального руху одного тіла в обертальний або поступальний рух іншого тіла (або навпаки).

Для перетворення рухів користуються зубчастими, пасовими, тросовими, фрикційними механізмами (рис. 3):

Рис. 3

Формула зв’язку при послідовному з’єднанні тіл

; .

2.2 Задача № 1

Рис.4

3. . Приклад розв’язку задачі

Задача. За заданим законом обертання колеса 1: , (рад) визначити швидкість та прискорення груза 4 та точки М двoхступінчастого колеса 2 в момент часу сек. Радіуси колес =0,8 м; =1,0 м; ₂=0,5 м; 1,2 м; =0,4м. Ковзання ременя по колесах відсутнє (рис. 5).

Рис. 5

Розв’язок.

1. Малюємо передаточний механізм в масштабі в заданому положенні і заданий додатній напрямок руху ведучого тіла механізму.

2. Аналіз руху тіл механізму:

колеса 1, 2, 3 – рух обертальний;

груз 4 – рух поступальний, прямолінійний.

3. Для розв’язку задачі необхідно використовувати формули із тем “Обертальний рух твердого тіла” та “Кінематика точки”.

4. Кутова швидкість та кутове прискорення колеса 1:

, рад/с; рад/с² .

(Напрямок та такий же, як і ).

5. Кутова швидкість та кутове прискорення колеса 2.

На основі формул зв’язку при з’єднанні тіл в механізм – запишемо:

; .

Тому

, рад/с;

рад/с² , або рад/с².

Напрямок швидкості точки к: в бік . Відповідно напрямок кутової швидкості тіла 2 визначає швидкість ( ) (напрямок руху) точки К.

Аналогічно визначається напрямок кутового прискорення .

6. Швидкість точки М:

.

При =1 с м/с.

Напрямок швидкості точки М: в бік .

7. Прискорення точки М:

Дотичне прискорення

м/с² ( О₂М в бік )

Нормальне прискорення

- м/с²

( спрямоване по радіусу О₂М до центра О₂ ).

Модуль прискорення:

= = м/с².

Вектор спрямований по діагоналі прямокутника, побудованого на векторах та .

8. Кутова швидкість та кутове прискорення колеса 3.

Через те що швидкість усіх точок ременя однакова і ковзання ременя по колесах відсутнє, формули зв’язку між колесами 2 та 3 механізму такі:

Звідси

При с, рад/с²,

рад/с².

Напрямок швидкості відповідає напрямку руху точок ременя, тобто напрямок співпадає з напрямком . Відповідно напрямок співпадає з напрямком .

9. Швидкість груза 4.

Через те, що рух від колеса 3 до груза 4 передається нерозтяжною ниткою, то швидкість та дотичне прискорення точки колеса 3, з якої сходить нитка, однакові, тобто

м/с. При с м/с;

м/с², або м/с².

Спрямовані вектори та вертикально вниз.

Вказівка. Якщо при визначені швидкості та прискорення одержимо знак “-“, то на нього при визначені їх напрямку можна не звертати уваги, а при кількісних підрахунках брати їх величини із знаком “-“.

10. Відповідь. В момент часу =1сек швидкість та прискорення точки М: м/с, м/с²; швидкість та прискорення груза 4:

м/с; м/с².