Лабораторная работа № 7 Поиск экстремумов целевой функции и оптимизация параметров проектируемого объекта

Цель работы: приобретение навыков поиска экстремумов целевой функции и оптимизации параметров проектируемого объекта.

Краткая теория

Значение целевой функции может возрастать или убывать с увеличением качества выходного параметра, поэтому в первом случае необходимо искать максимум, а во втором — минимум целевой функции.

Пусть в проектируемом объекте имеется п управляемых пара­метров, образующих вектор Х= (х₁, х₂, …, х_n). Обозначим целевую функцию через F(Х), а область ее определения — через ХР. Вектор X определяет координаты точки в области определения ХР. Если элементы вектора X принимают только дискретные значения, ХР является дискретным множеством точек и задача оптимизации относится к области дискретного (в частном случае целочислен­ного) программирования.

Большинство задач параметрической оптимизации техничес­ких объектов формулируется в терминах непрерывных параметров. Если экстремум целевой функции ищется в неограниченной об­ласти ХР, его называют безусловным, а методы поиска — метода­ми безусловной оптимизации. Если экстремум целевой функции ищется в ограниченной области ХР, его называют условным.

Для решения задач проектирования в машиностроении харак­терны методы условной оптимизации.

Таким образом, задачу поиска оптимального решения можно в общем случае сформулировать следующим образом:

min(max) F(X), X є XP

где X — вектор управляемых параметров; F(Х) — целевая функ­ция; ХР — область допустимых значений вектора управляемых параметров.

Методика выполнения работы

1. Определить тип экстремума составленной в лабораторной работе №6 целевой функции: максимум или минимум в зависимости от выходного параметра (например, грузоподъёмность – максимум, расход топлива - минимум).

2. Ввести необходимые функциональные ограничения.

3. Ограничить область определения составля­ющих вектора управляемых параметров X.

Пример поиска экстремумов целевой функции и оптимизации параметров проектируемого объекта

Рассмотрим пример поиска экстремумов целевой функции и оптимизации параметров независимой подвески на двух поперечных рычагах, упругим элементом которой является круглый торсион. Расчетная схема подвески приведена на рис. 10.

За целевую функцию принята потенциальная энергия де­формации торсиона, определяющая энергоемкость подвески (см. л/р №6):

1. Ищем максимум целевой функции

max F(X)= τ²∙ π∙ d² ∙L / (16∙g).

2. Вводим ограничения по жесткости и проч­ности торсиона:

где — допускаемые напряжения;

п — запас прочности.

Минимальные и максимальные значения жесткости торсиона могут быть предварительно выбраны из условия обеспечения плав­ности хода — обеспечения необходимой частоты собственных ко­лебаний неподрессоренной массы автомобиля на подвеске.

3. Ограничиваем область определения составля­ющих вектора управляемых параметров X:

Данные ограничения могут быть заданы проектировщиком ис­ходя из опыта предшествующих разработок и из конструктивных особенностей проектируемого автомобиля.

Указанная задача может быть решена методами нелинейного программирования, поскольку целевая функция и ряд ограниче­ний выражены нелинейными зависимостями.