Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
model.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
13.11.2019
Размер:
318.98 Кб
Скачать

Лекция 3.3. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Терминология: математическая модель, компьютерная модель, вычислительный эксперимент, математическое моделирование, компьютерное моделирование, компьютерная модель.

Материалы для изучения

Математическое моделирование

Математическая модель – это [1]:

  • совокупность записанных на языке математики соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояния объекта в зависимости от его элементов, свойств, параметров, внешних воздействий;

  • приближённое описание объекта, выраженное с помощью математической символики.

Вычислительный эксперимент

Компьютерная модель

Под компьютерной моделью понимается программа (или программа в совокупности со специальным устройством), которая обеспечивает имитацию характеристик и поведения определенного объекта, а также результат выполнения этой программы в виде графических изображений (неподвижных или динамических), числовых значений, таблиц и пр. Различают структурно-функциональные и имитационные компьютерные модели.

Структурно-функциональная компьютерная модель – это условный образ объекта или некоторой системы объектов (процессов, явлений), описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и т. д. и отображающий структуру объекта или его поведение.

Имитационная компьютерная модель – это отдельная программа или программный комплекс, позволяющий с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта под воздействием различных случайных факторов.

В научных исследованиях, как фундаментальных, так и прикладных (практически направленных), компьютер выступает как необходимый инструмент экспериментальной работы.

Компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование – метод решения задачи анализа или синтеза сложной системы на основе использования ее компьютерной модели.

Объектом компьютерного моделирования являются математические и другие научные модели, а не реальные объекты, процессы, явления, т.е. на компьютере моделируется не объективная реальность, а наши теоретические представления о ней. Метод компьютерного моделирования нашел применение в биологии, химии, социологии, экологии, физике, экономике, лингвистике, юриспруденции и многих других сферах знания.

Критерием верности любого из результатов компьютерного моделирования был, есть и остается натурный (физический, химический, социальный и др.) эксперимент.

Преимущества компьютерного моделирования заключаются в том, что оно:

  • дает возможность рассчитать параметры и промоделировать явления, процессы и эффекты, изучение которых в реальных условиях невозможно либо затруднительно, либо очень дорого;

  • позволяет не только пронаблюдать, но и предсказать результат эксперимента при каких-то особых условиях;

  • позволяет моделировать и изучать явления, предсказываемые любыми теориями;

  • является экологически чистым и не представляет опасности для природы и человека;

  • обеспечивает наглядность;

  • доступно в использовании.

Компьютерное моделирование используется в обучении, подготовке и переподготовке специалистов для:

  • наглядного представления моделей явлений микромира и мира с астрономическими размерами;

  • имитации процессов, происходящих в мире живой и неживой природы

  • моделирования реальных ситуаций управления сложными системами, в том числе аварийных ситуаций;

  • проведения лабораторных работ, когда нет необходимых устройств и приборов;

  • решения задач, если при этом требуется применение сложных математических методов и трудоемких расчетов.

Компьютерный эксперимент, – это инструмент исследования моделей, а не природных или социальных явлений. Как правило, он связан с:

  • проведением сложных математических расчетов (численное моделирование);

  • построением и исследованием наглядных и/или динамических моделей (компьютерное моделирование).

В научных и практических исследованиях компьютерный эксперимент лишь сопутствует натурному, чтобы исследователь, сравнивая их результаты, мог оценить качество модели и глубину своих представлений о сути явлений природы, не забывая при этом, что физика, биология, астрономия, экономика, информатика – это науки о реальном мире, а не о виртуальной реальности.

Преимущества компьютерного моделирования заключа­ются в том, что оно:

• дает возможность рассчитать параметры и смоделировать явления, процессы и эффекты, изучение которых в реаль­ных условиях невозможно либо затруднительно;

• позволяет не только пронаблюдать, но и предсказать ре­зультат эксперимента при каких-то особых условиях;

• позволяет моделировать и изучать явления, предсказыва­емые любыми теориями;

• является экологически чистым и не представляет опасно­сти для природы и человека;

• обеспечивает наглядность;

• доступно в использовании.

Метод компьютерного моделирования нашел применение в биологии, химии, социологии, экологии, физике, эконо­мике, лингвистике, юриспруденции и многих других сферах знания.

Компьютерное моделирование широко используется в обучении, подготовке и переподготовке специалистов:

• для наглядного представления моделей явлений микро­мира и мира с астрономическими размерами;

• для имитации процессов, происходящих в мире живой и неживой природы

• для моделирования реальных ситуаций управления сложными системами, в том числе аварийных ситуаций;

• для проведения лабораторных работ, когда нет необходи­мых устройств и приборов;

• для решения задач, если при этом требуется применение сложных математических методов и трудоемких расче­тов.

Важно помнить, что на компьютере моделируется не объективная реальность, а наши теоретические представления о ней. Объектом компьютерного моделирования являются ма­тематические и другие научные модели, а не реальные объ­екты, процессы, явления.

Критерием верности любого из результатов компьютерного моделирования был и остается натурный (физический, химический, социальный) эксперимент. В научных и практических исследованиях компьютерный эксперимент может лишь сопутствовать натурному, чтобы исследователь, сравнивая их результаты, мог оценить качество модели, глубину наших представлений о сути явлений природы.

Важно помнить, что физика, биология, астрономия, экономика, информатика – это науки о реальном мире, а не о виртуальной реальности.

Моделирование в науке

Все научное познание базируется на методе моделирования. Теоретической базой моделирования являются теория отражения и теория подобия.

Подобие – это взаимно однозначное соответствие между двумя объектами, при котором известны функции перехода от параметров одного объекта к параметрам другого, а математические описания этих объектов могут быть преобразованы в тождественные.

Научное исследование любого объекта всегда сводится к построению модели или совокупности моделей объекта исследования. Причем, модель при научном моделировании выступает и как цель, и как средство, и как объект исследований.

В основе каждой научной модели лежит более или менее развитая теория отображаемого объекта, и сама модель ограничивается рамками этой модели.

В научном моделировании выделяют следующие этапы.

Исходным пунктом для построения модели, как правило, бывает эмпирическая (наблюдающаяся в опытах) картина явления, выдвигающая перед исследователем задачу, на ко­торую надо найти ответ. При уяснении и постановке зада­чи происходит процесс схематизации и идеализации явле­ния, выделения его свойств и влияющих на него факторов. После выявления существенных свойств и факторов иссле­дователь приступает к их качественной и количественной оценке и интерпретации. Это необходимо для того, чтобы перевести эмпирически полученные данные на язык матема­тических понятий и величин, поскольку язык математики считается универсальным языком науки. Математическая модель, таким образом, является результатом формализа­ции реального объекта или явления. После построения моде­ли проводится проверка адекватности модели явлению, физической и логической непротиворечивости или коррек­тности. Построенная модель исследуется и на основе ее анализа выдвигаются гипотезы о возможном поведении изучаемого явления, закономерностях его функционирова­ния и развития. Далее планируются эксперименты по проверке выдвинутых гипотез. Если они подтверждаются, то разработанная модель становится основой для построения научной теории изучаемого явления. Таковы основные эта­пы научного моделирования.

Глобальные модели развития человечества. Модель WORLD-3

Как будет развиваться мир в обозримом будущем? Каково ближайшее будущее человечества как вида в целом? Речь идет именно о человечестве в целом, какое у него (у нас всех, живущих на Земле) будущее?

Будущее человечества определяется столь огромным количеством процессов, частично им контролируемых, частично нет, и эти процессы столь взаимосвязаны и имеют столь противоречивые последствия, что лишь математическое моделирование их во всей разумной совокупности, реализуемое на современных компьютерах, может дать качественно верный прогноз.

Такие модели, получившие название глобальных, начали появляться в 70-х годах нашего века. Наиболее известны модели МИР-1, МИР-2, МИР-3, сформулированные и изученные группой сотрудников Массачусетского технологического института (США) под руководством Д.Х. Медоуз и Д. Форрестера. Работы были начаты по поручению «Римского клуба» - международной неправительственной группы выдающихся государственных деятелей, ученых, бизнесменов. Результаты в свое время произвели в западном мире сенсацию, ибо большинство сценариев возможного развития событий вели к результатам, которые можно назвать концом света (разумеется, с точки зрения человечества). Вместе с тем авторы не раз подчеркивали, что речь идет не о заведомо предопределенном будущем, а о выборе путей развития человечества, среди которых есть и ведущие к стабильности.

Что является причиной возможной нестабильности? Характерной чертой жизни человечества в эпоху после начала промышленной революции стал быстрый (часто экспоненциально быстрый) рост многих показателей. Период удвоения численности населения Земли составляет примерно 40 лет (наличие такого постоянного периода – характерная черта экспоненциального роста). Биологи и экологи хорошо знают, что экспоненциальное наращивание численности популяции чаще всего кончается катастрофой – истощаются ресурсы, поддерживающие ее существование. С точки зрения существования вида это не трагедия (кроме уникальных случаев, когда данный вид весь сводится к одной популяции). Однако, в наше время человечество израсходовало почти все ресурсы для экстенсивного роста и распространения «вширь». Объем промышленного производства в XX веке также растет практически экспоненциально с годовым темпом прироста в среднем 3,3%. Это приводит к истощению природных ресурсов – полезных ископаемых, чистой воды, чистого воздуха. Содержание в атмосфере одного из устойчивых соединений углерода (диоксида) в результате сжигания органического топлива и истощения лесов возросло с начала века на треть; потенциально это ведет к глобальному потеплению на Земле с самыми катастрофическими последствиями. Чем больше людей, тем больше необходимо продуктов питания, и мировой объем вносимых минеральных удобрений растет экспоненциально с периодом удвоения около 15 лет. Ясно и без всякого моделирования, что подобная жизнь с безудержным ростом всего и вся не может длиться долго – а ныне «долго» сопоставимо со сроком жизни двух-трех поколений.

В то же время для глобальных процессов характерно то, что каждый отдельно взятый процесс нельзя однозначно назвать «хорошим» или «плохим» сточки зрения влияния на судьбу человечества. Увеличение производства удобрений ведет к увеличению производства продуктов питания - «хорошо», но оно же ведет к уменьшению запасов чистой пресной воды, которую портят удобрения, попадаю­щие через почву с дождями в реки и подземные источники, ведет к необходимости . увеличения производства энергии для добычи удобрений и связанному с этим химическому и тепловому загрязнения почвы и атмосферы и т.д. – «плохо». Взвесить последствия всего этого на развитие человечества можно лишь при комплексном учете всех факторов разом.

В чем же заключаются возможности избежать катастрофических последствий для развития человечества? Были сформулированы следующие три правила, соблюдение которых необходимо для глобальной устойчивости (прийти к ней необходимо после прекращения нынешних процессов неконтролируемого роста).

1. Для возобновляемых ресурсов (лес, вода, рыба и т.д.) темпы потребления не должны превышать темпов естественного восстановления.

  1. Для не возобновляемых ресурсов (уголь, нефть, руды и т.д.) темпы потребления не должны превышать темпов их замены на возобновляемые (развитие солнечной и ветровой энергетики, посадка лесов и т.д.) и темпов развития новых технологий для обеспечения смены ресурсов для того, чтобы после исчезновения, к примеру, нефти был обеспечен приток энергии от нового ресурса.

  2. Для загрязняющих веществ предельная интенсивность выбросов не должна превышать темпов, с которыми эти вещества перерабатываются или теряют вредные для окружающей среды свойства.

В настоящее время человечество отнюдь не руководствуется этими правилами (хотя и есть соответствующие попытки – например, соглашения о квотах на рыбную ловлю). Если в прошлые века это не представляло опасности для вида в целом, то в наши дни ситуация изменилась. Достаточно сказать, что если бы при сегодняшней численности населения Земли каждый человек потреблял бы столько энергии и других ресурсов, сколько их сегодня потребляет в среднем гражданин США (при существующих технологиях), это привело бы к немедленной вселенской катастрофе.

Модель WORLD-3 (МИР-3). Модель состоит из пяти секторов:

  • стойкие загрязнения;

  • не возобновляемые ресурсы;

  • население;

  • сельское хозяйство (производство продуктов питания, плодородие земель, освоение земель);

  • экономика (промышленное производство, производство услуг, рабочие места).

Исходными являются первичные взаимосвязи:

  • численность населения и запасы промышленного капитала;

  • численность населения и площадь возделываемых земель;

  • площадь возделываемых земель и объем промышленного капитала;

  • численность населения и капитал сектора услуг;

  • капитал сектора услуг и промышленный капитал и т.д.

В каждом секторе прослеживаются все первичные взаимосвязи и выражаются математическими соотношениями. По мере необходимости учитываются процессы материального и информационного запаздывания, так как реакция, скажем, численности населения на улучшение питания является не мгновенной, а запаздывающей. Это типично для большинства рассматриваемых процессов.

Основное назначение модели WORLD-3 – представить возможные пути достижения экономикой (в широком смысле термина) такой численности населения планеты, которая может поддерживаться окружающей средой неопределенно долгое время. Она не предсказывает нечто отдельное для России или Египта, не решает никаких локальных вопросов. Модель исходит из того, что на Земле существует глобальное сообщество.

Динамика численности населения – интегральная характеристика, которая вби­рает в себя все факторы. Чисто умозрительно возможны два типа устойчивых динамик (непрерывный рост и «сигмоидное» приближение к равновесию) и три типа неустойчивых, связанных с выходом за пределы допустимого (колебания с последующим выходом на стационар, хаотические колебания и коллапс, т.е. исчезновение вида). Непрерывный рост представляется совершенно нереалистическим, последняя из неустойчивых динамик – трагедией для человечества, а за резкими колебаниями, как нетрудно догадаться, стоят войны, эпидемии, голод – то, что мы и без всяких моделей видим в реальности.

Типичные для модели WORLD-3 взаимосвязи, описываемые дифференциальными и «обычными» уравнениями приведе­ны на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Типичные для модели WORLD-3 взаимосвязи между объектами

Он показывает связи между численностью населения, промышленным капиталом, площадью возделываемых земель и загрязнением окружающей среды. Каждая стрелка на рисунке указывает наличие причинной связи, которая может быть непосредственной или запаздывающей, положительной или отрицательной.

Понятия положительной и отрицательной обратной связи взяты из теории авто­матического регулирования (раздел кибернетики). Причинно-следственная связь между двумя элементами называется отрицательной, если изменение одного элемента передается второму, возвращается от него к первому и изменяет его в направле­нии, противоположном первоначальному (подавляет), и положительной, если это изменение, возвращаясь к первому, усиливает его.

Набор таких рисунков графически исчерпывает модель WORLD-3. Однако, за каждой стрелкой – первичные взаимосвязи, уравнения, в которые входит ряд параметров. Фактически именно значения этих параметров и определяют результаты решения, поэтому к их анализу привлекаются как многочисленные узкие специалисты, так и многие эмпирические (статистические) данные, собранные в десятках справочников, отчетов ООН и отдельных государств. Количество взаимосвязанных переменных в модели WORLD-3 равно 225, параметров – еще больше.

Результаты глобального моделирования. Опубликованные «сценарии» развития человечества, следующие из моделей WORLD-3, охватывают промежуток времени от 1900 года до 2100 года. Прошедшие 90 лет, позволили «настроить» модель, понять степень ее достоверности.

Первый из сценариев основан на гипотезе, что все будет развиваться без серьезных изменений, глобальных политических катаклизмов, без особых усилий по сохранению ресурсов и уменьшению загрязнения окружающей среды. Весьма печальные результаты такого развития иллюстрирует рис. 3.2.

Рис. 3.2. Варианты нерегулируемого развития.

Разумеется, временные шкалы здесь весьма расплывчаты. Что будет, если на Земле обнаружатся и окажутся доступными (например, в океанах) дополнительные залежи нефти и газа, других ресурсов? Моделирование безжалостно утверждает, что это не изменит качественно характер эволюции, а лишь сдвинет вправо точки экстремумов кривых.

Вместе с тем модель WORLD-3 позволяет нащупать пути регулируемого развития, которое ведет к плавному («сигмоидному») поведению основных переменных. Этот путь связан с самоограничениями и переходом на усовершенствованные промышленные и сельскохозяйственные технологии. Иллюстрацией тому является рис. 3.3.

Рис. 3.3. Варианты регулируемого развития

Итак, математическое компьютерное моделирование применяется для исследования даже такой сверхзадачи, как самосохранение человека как вида.

Литература и источники:

Основная:

1. А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер «Информатика: учебное пособие для студентов пед. вузов» под ред. Е. К. Хеннера – 3-е изд. перераб и доп., М.: Академия, 2004. – 848 стр.

2. А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер «Информатика: учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений» под ред. А. В. Могилева, М.: Академия, 2006. – 327 стр.

Дополнительная:

  1. А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер «Информатика» под ред. Е. К. Хеннера, М.: Академия, 2000.

Темы рефератов

  1. Компьютерное моделирование: примеры реальной пользы.

  2. Компьютерное моделирование: примеры нежелательных последствий.

Материалы для оперативного контроля

  1. Важным свойством модели является ее адекватность моделируемому объекту. Какому объекту адекватна компьютерная модель?

  2. Что мы моделируем на компьютере: объективную реальность или наши теоретические представления о ней?

  3. Можно ли назвать компьютерной моделью письмо, написанное в текстовом редакторе и отправленное по электронной почте? Дайте обоснование ответа.

  4. Что понимают под термином «математическая модель»?

  5. Что понимают под термином «компьютерная модель»?

  6. В чем преимущество компьютерной модель перед математической или любой другой моделью?

  7. Приведите примеры компьютерных моделей.

  8. Что такое глобальный процесс?

  9. Приведите примеры глобальных процессов.

  10. Приведите примеры моделей глобальных процессов.

  11. Назовите секторы, из которых состоит модель World-3.

  12. Назовите исходные первичные взаимосвязи для модели World-3.

  13. Сколько взаимосвязанных переменных в модели World-3?

  14. Что такое эвоинформатика?

  15. Текстовый процессор Word позволяют создавать не только обычные документы (письма, статьи, отчеты), но и шаблоны документов, содержащие постоянную информацию, которую пользователь не может изменить, есть поля данных, которые заполняются пользователем, а есть поля, в которых автоматически производятся расчеты на основании введенных данных.

Можно ли такой шаблон назвать компьютерной моделью?

Если шаблон можно назвать компьютерной моделью, то:

  • назовите объект моделирования;

  • назовите цель создания этой модели (шаблона).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]