- •§ 1 Топология п.1 Пространство
- •П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве
- •§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных
- •П.2 Непрерывность функции многих переменных
- •П.3 Свойства непрерывных функций
- •§ 3 Дифференцируемость функций многих переменных п.1 Частные производные
- •П.2 Дифференцируемость функций многих переменных
- •П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала
- •П.8 Производная по направлению. Градиент
- •П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •П.10 Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •§ 4 Неявные функции п.1 Определения
- •П.2 Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции
- •П.3 Неявная функция нескольких переменных
- •§ 5 Локальный экстремум функции нескольких переменных п.1 Определения
- •П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах
- •П.3 Достаточные условия локального экстремума
- •§ 6 Условный экстремум п.1 Определения
- •П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума
- •П.3 Метод множителей Лагранжа
- •Алгоритм нахождения точек условного экстремума методом Лагранжа
§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных
Пусть Х – некоторое подмножество пространства . Функция называется функцией многих переменных и обозначается , . Например, , , .
Напомним, что окрестность точки – это любое открытое множество, содержащее точку . Проколотой окрестностью точки будем называть множество .
. (определение по Коши) Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности , . Говорят, что число А является пределом функции при , если
.
. (определение по Гейне) Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности , имеет при предел А, если для любой последовательности , такой, что при , следует, что .
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.
Для функции двух переменных пишут . Такой предел называется двойным.
Пример 1 , так как
.
Пример 2 Функция не имеет предела при .
Воспользуемся определением предела по Гейне.
Возьмем последовательности и . Имеем , . Так как пределы значений функции различны, то предела функции в точке не существует.
Существуют понятия «предел по множеству», «предел по направлению». И существуют примеры, подтверждающие, что из существования этих пределов не следует существования предела функции в точке.
Повторные пределы
. Пусть функция двух переменных определена на множестве . Допустим, для любого фиксированного существует и функция определена в проколотой окрестности . Если существует , то этот предел называется повторным.
Аналогично определяется .
Как показывают примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.
Пример 1 не существует, но и
.
Пример 2 . Так как , то
. Значит, .
Но не существует, .
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
Эти пределы определяются аналогично пределам для функции одной переменной. Например, означает:
. Здесь .
.
.
.
П.2 Непрерывность функции многих переменных
. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке , если существует .
. Функция , определенная в окрестности , непрерывна в точке , если .
. Функция называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Пример Функция не является непрерывной в точке , так как не существует . Действительно, если взять две последовательности и , то получим
, при .
Теорема (о непрерывности сложной функции) Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке ; функция определена в окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .
Пример непрерывна на .
Здесь , , , .