§ 5 Локальный экстремум функции нескольких переменных п.1 Определения

. Пусть и пусть .

Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует такой шар , что для выполняется неравенство .

Если выполняется неравенство , то – точка строгого локального минимума функции .

Аналогично определяются точки локального максимума (строгого локального максимума) функции .

Например, для функции точка является точкой строгого минимума, т.к. .

. Точки локального максимума и точки локального минимума функции называются точками экстремума.

Теорема 1 Если – точка экстремума функции и существует частная производная , то она равна нулю.

Следствие Если – точка экстремума функции , и дифферен-цируема в этой точке, то

.

Действительно, т.к. дифференцируема в точке , то в этой точке существуют все частные производные, и они равны нулю.

. Если дифференцируема в точке и , то называется стационарной точкой функции (иногда называют точкой возможного экстремума).

Замечание. Точка экстремума дифференцируемой функции всегда является стационарной точкой. Обратное не всегда верно. Например, для точка является стационарной точкой, но не является точкой экстремума, так как в любой её окрестности есть точки вида такие, что , и есть точки вида такие, что . При этом .

Теорема 2 Пусть – точка минимума функции , функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные I и II порядка. Тогда , . Если же – точка максимума функции , то , .

Замечание. Условия и необходимы, но не достаточны для того, чтобы была точкой минимума функции . Например, для в точке выполнено:

, .

Но точка не является точкой экстремума.

П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах

. Напомним, что функция вида , где числа удовлетворяют равенству , называется квадратичной формой переменных .

Числа называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица

–

матрицей квадратичной формы.

. Квадратичная форма называется

а) положительно определенной, если для , одновременно не равных нулю;

б) отрицательно определенной, если для , одновременно не равных нулю;

в) знакопеременной (неопределенной), если она может принимать и положительные, и отрицательные значения при различных значениях .

Например, – положительно определенная квадратичная форма; – знакопеременная квадратичная форма, т.к. , .

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы были положительны, т.е.

, , … , .

. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров её матрицы чередовались следующим образом:

, , , , … .