4. Примеры определения нормальных и касательных напряжений.

Пример 4.1. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К прямоугольного сечения балки (6х14 см), если изгибающий момент в этом сечении М_х=–40кНм=–40 кНсм., а поперечная сила равна 20 кН.

Решение. Момент инерции прямоугольного поперечного сечения относительно главной центральной оси x.

J_x= = =1372 см⁴._.

Ось у направим вниз. Координата точки К равна у_к= –4см.

Нормальное напряжение в точке К будет равно

=116,6 МПа.

Касательное напряжение в точке К вычисляем по формуле Журавского.

Статический момент отсечённой части площади сечения равен

см³.

Ширина сечения на уровне К равна b(y)=6см.

Определим касательное напряжение в точке К.

=2,4 МПа.

Пример 4.2. Определить наибольшее растягивающее нормальное и наибольшее касательное напряжения в балке круглого сечения, если в сечении М_х= 80 кНм= 80 10³ кНсм, Q= 60кН.

Диаметр сечения d=14 см.

Решение. Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в нижнем волокне растянутой зоны сечения, т.е. в волокне наиболее удалённом от нейтральной оси х, и определяется по формуле

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения на уровне нейтральной оси х, где все касательные напряжения параллельны поперечной силе, и их можно определять по формуле Журавского.

Площадь сечения равна А= = =153,56 см².

Момент сопротивления сечения равен W_x= = 269,26см³.

Определим значение растягивающего наибольшего нормального

напряжения

=14,86 =148,6 МПа.

Определим значение наибольшего касательного напряжения

=0,52 =5,2МПа.

П ример 4.3. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К на уровне примыкания стенки к полкам стального двутавра (I30), а также наибольшие нормальные и касательные напряжения, если М_х=50 кНм=50 10² кНсм, Q=30 кН.

Решение. Из сортамента балки двутавровые выписываем необходимые данные для двутавра I30.

h= 300мм=30 см, b=135мм=13,5см, d = 6,5 см=0,65 см,

t=10,2 мм=1,02 см.

Площадь сечения А= 46,5 см², момент инерции J_х = 7080 см⁴, момент сопротивления W_х = 472 см³.

Определим значение статического момента площади сечения полки относительно нейтральной оси х.

= 199,53 см³.

На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения

= =1,3 =13 МПа.

Определим значение нормального напряжения на этом же уровне.

у_к = –(h/2–t) =15–1,02= –13,98cм.

= (–13,98)= – 9,87 = –98,7 МПа.

Наибольшего нормального напряжения возникает в волокнах наиболее удалённых от нейтральной оси х

= =10,59 =105,9МПа.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках на уровне нейтральной оси х.

= =1,75 =17,5 МПа.

5. Расчёт балок на прочность при изгибе

При расчёте строительных конструкций применяется метод расчёта по первой группе предельных состояний, в машиностроении–метод допускаемых напряжений.

В большинстве случаях решающие значения на прочность при изгибе имеют наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балок, и лишь в некоторых случаях наибольшие касательные напряжения, действующие на нейтральной оси х.

Для пластических материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, выгодно применять симметричные относительно нейтральной оси сечения.

В том случае условие прочности записывается в виде

где R–расчётное сопротивление материала; – коэффициент условий работы; М – наибольший по абсолютной величине изгибающий момент; W_х –момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси х;

– наибольшие напряжение, возникающие в балке.

Наибольшее значение нормальные напряжения имеют на уровне нейтральной оси х.

Сечение балки, в котором действует по абсолютной величине М , называется опасным сечением.

При расчёте элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием условий прочности решаются следующие задачи:

проверка прочности, подбор сечения и определение грузоподъёмности балки.

Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности.

Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения при заданной форме.

Вначале определяется величина требуемого момента сопротивления, а затем устанавливаются размеры сечения.

Для прямоугольного сечения с заданным соотношением сторон h/b=n можно найти

W_х= ; h= ; b=h/n.

Для круглого сечения можно найти диаметр D

W_х= ; D= .

Для прокатных профиле (двутавр, швеллер) по величине момента сопротивления W выбор сечения производится по сортаменту.

Решение третьей задачи по определению грузоподъёмности определяется в опасном сечении величина наибольшего изгибающего момента

М_нб= .

Затем этот момент выражается через приложенные к балке нагрузки и определяется соответствующие величины нагрузки.

Следует отметить, что в коротких балках (l/h 5), а также в балках обычной длины нагруженных большими по величине сосредоточенными силами близко расположенными к опорам, изгибающий момент может оказаться небольшим, а поперечная сила по абсолютной величине значительна. В этом случае необходимо производить проверку по наибольшим касательным напряжениям.

Условие прочности по наибольшим касательным напряжениям имеет вид

где Rs – расчётное сопротивление материала балки при сдвиге.

Для металлов, например для стали марки ВСт3 при

R=210 МПа, а при сдвиге R_s=130МПа.

Для деревянных балок расчётное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе R=13 МПа, а при скалывании R_s=2,4МПа.

Расчёт на прочность по наибольшим касательным напряжениям производится для сечений, где действует наибольшее по абсолютной величине поперечная сила Q_нб. Наибольшее значение касательные напряжения имеют на уровне нейтральной оси х.

Расчёт на прочность по имеет решающее для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон.

Для деревянной балки прямоугольного сечения условие прочности имеет вид

,

где А =b h – площадь поперечного сечения балки.

Для деревянной балки круглого сечения условие прочности можно записать в виде

,

где А= площадь поперечного сечения балки.

Для стальной двутавровой балки условие прочности имеет вид

,

где S_х – статический момент площади половины сечения относительно нейтральной оси х; J_x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси х; d –ширина стенки двутавра на уровне нейтральной оси у=0.