Гидростатика и элементы динамики жидкостей

Основным законом гидростатики является постоянство давления в любой точке покоящейся жидкости для площадок, которые проходят через точку р_х = р_у = р_z = р_n , где р_x ,р_y ,р_z , р_n - гидростатические давления на площадях, соответственно перпендикулярных к осям х, у, z , n .

Гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадок и в разных точках жидкости может быть различным: p =f (x, y, z). Если рассмотреть равновесие элементарного объёма покоящейся жидкости плотностью  в поле сил тяжести или любой другой силы, имеющей на оси х, у, z, проекции х, у, z ускорений, соответствующих этой силе, то имеем следующую систему уравнений:

которая называется уравнениями гидростатики Эйлера.

Применительно для силы тяжести для проекций ускорений имеем: Х = 0, У = 0, Z =  g, где в последнем выражении знак минут связан с тем, что ось направлена вверх. При этом уравнения Эйлера примут вид:

Первые два уравнения указывают на то, что давление не зависит от координат х и у, то есть одинаково во всех точках любой горизонтальной плоскости, а из третьего получим

Для несжимаемой жидкости, где плотность постоянна, после интегрирования получим р +  z = С, где С - постоянная интегрирования.

Если в какой-либо точке покоящейся жидкости с координатой z₀ известно давление р₀, то С = р₀ +  z₀.

Следовательно, для произвольной координаты в общем случае имеем основное уравнение гидростатики:

р = р₀ +  (z₀ - z), или

то есть, для всех точек покоящейся однородной жидкости сумма пъезометрической р/ и геометрической z высот имеет одинаковое значение. Согласно этому соотношению для поверхности уровня (р - р₀) имеем  z = const, т.е. поверхности уровня жидкости - горизонтальные плоскости.

Практические выводы из основного уравнения гидростатики

1. Для сообщающихся сосудов, на поверхности однородной вязкой жидкости которых действует давление р_а, уровень жидкости в обоих сосудах будет располагаться на одной высоте.

• Если в сосудах будут находиться жидкости с разной плотностью (₁ и ₂), то будет справедливо соотношение z₁/ z₂ = ₂₁ , или z₁/ z₂ = ₂₁, т.е. высоты уровней в сообщающихся сосудах, отсчитанные от поверхности раздела несмешивающихся вязких жидкостей, обратно пропорциональны их плотностям.

• Если к свободной поверхности одного из сообщающихся сосудов приложить избыточное давление (р_а1  р_а2), то для вязкой однородной жидкости уровень в другом сосуде установится в положении z₂, для которого

На этом принципе основаны пъезометрические приборы для измерения давлений.

• В сообщающихся сосудах вязкопластическая жидкость. В этом случае необходимый перепад давления для подъёма жидкости на высоту z₂ определится по формуле

где ₀ - динамическое напряжение сдвига; d - диаметр сообщающихся сосудов; z₁ и z₂ - высота сосудов от их общего дна.

Дополнительный член в этой формуле отражает необходимый дополнительный перепад давления для преодоления предельного напряжения сдвига.

Для скважины, заполненной однородной вязкопластичной жидкостью (буровой раствор), пусковой перепад давления на насосах необходимо определять с учётом дополнительного перепада

где L - глубина скважины; D - диаметр скважины; d₁,d₂ - наружный и внутренний диаметр трубы.

2. Определение давления жидкости на ограничивающие её стенки. ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО: составляющая давления жидкости на плоский элемент ограничивающей поверхности, параллельная горизонтальной оси, определяется как давление на проекцию этого плоского элемента, перпендикулярную к выбранной оси. При этом полная сила избыточного давления на плоскую стенку равна произведению площади стенки на избыточное давление в центре тяжести стенки. Точка приложения этой силы называется центром давления и для плоской наклонной стенки центр давления ВСЕГДА располагается НИЖЕ ЦЕНТРА ЕЁ ТЯЖЕСТИ.

3. Определение сил, действующих на поверхность погруженного в жидкость твёрдого тела. Рассмотрим цилиндрическое твёрдое тело, вертикально расположенное в жидкости. На его верхний и нижний торцы будут действовать соответственно силы: р₁ = _ж z₁ F и р₂ = _ж z₂ F , где  - плотность жидкости; z₁ и z₂ - высота столба жидкости соответственно над верхним и нижним торцами; F - площадь горизонтального сечения цилиндра.

Результирующая этих сил

А = р₁ - р₂ = -  (z₂ - z₁) F = _ж V_ц,

где V_ц = F (z₂ - z₁) - объём цилиндра.

Для такого осесимметричного тела, как цилиндр, на боковой поверхности силы равны. В более общем случае на всякое тело объёмом D_т, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх (знак минус) и равная по весу вытесненной им жидкости (закон Архимеда)

А = _ж V_т .

Следует обратить внимание на то, что архимедова сила является ПОВЕРХНОСТНОЙ, то есть, действует на СМОЧЕННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА. Равнодействующая этой силы приложена в точке пересечения смоченной поверхности с вертикалью, проходящей через центр тяжести массы вытесненной жидкости в объёме погруженной части тела. Последний фактор важен для понимания природы поверхностных сил при решении задач по определению внутренних напряжений при расчёте бурильных и обсадных труб.

Архимедова сила возникает при наличии замкнутой в жидкости смоченной поверхности (в случае частично погружённого или плавающего тела смоченная поверхность замыкается горизонтальной плоскостью сечения тела в плоскости уровня жидкости).

Если тело погрузить на дно сосуда и вытеснить жидкость из зоны контакта с дном, то подъёмная сила исчезнет и, наоборот, появится сила, прижимающая тело к дну в результате действия гидростатического давления. Это является одним из объяснений ПРИХВАТОВ БУРИЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА, аналогичных присосу подводных лодок на грунте.

Если вес тела уравновешивается архимедовой силой для погружённой его части, то тело плавает. В противном случае оно тонет, а в общем случае тела, погружённые в жидкость, теряют в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость.

4. Чтобы полностью описать процессы взаимодействия при движении жидкости или тел в ней, НЕОБХОДИМО в каждой точке пространства, занятой жидкостью, знать ДАВЛЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ и СОСТАВЛЯЮЩИЕ СКОРОСТИ перемещения частиц жидкости:

Если указанные величины являются функциями ВРЕМЕНИ, то движение называется НЕУСТАНОВИВШИМСЯ, в противном случае - УСТАНОВИВШИМСЯ. В большинстве практических задач движение жидкости неустановившееся, но когда изменение процесса во времени протекает очень медленно, для практических целей его можно считать установившимся.

5. Понятие о расходе жидкости.

Массовый расход жидкости - массовое количество жидкости, протекающее через поперечное сечение за единицу времени:

dM = vpdw,

v - скорость течения жидкости по нормали к поперечному сечению dw.

Объёмный расход жидкости - объёмное количество жидкости протекающее через поперечное сечение за единицу времени:

dQ = vdw .

Поперечное сечение плоскостью, нормальной к скорости, называют живым сечением, и общий расход через любое сечение можно определить по формуле

где - направление нормали к элементарной площадке;  - общая площадь сечения потока.

В ряде задач с целью упрощения используют понятие скорости потока, и в этом случае Q = v_ср, откуда можно определить среднюю скорость:

В случае установившегося течения несжимаемой жидкости средний расход не меняется во времени и при отсутствии притока или оттока расход будет одинаковым во всех сечениях по длине потока, то есть, v_ср = const, а для течения в потоке с одинаковым сечением v_ср = const.