- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
9. Принцип неподвижной точки
Теорема (принцип неподвижной точки).
Пусть – сжимающее отображение полного метрического пространства , тогда существует единственная неподвижная точка у отображения .
Доказательство.
Возьмем произвольную точку и построим точку . По точке строим точку
Получили последовательность .
Докажем, что эта последовательность фундаментальна.
Возьмем числа ,будем считать, что , тогда запишем .
Рассмотрим расстояние
, т.к. отображение сжимающее, то , значит
Таким образом, доказали неравенство
(3)
Рассмотрим и применим неравенство треугольника:
Таким образом, доказали неравенство:
(4)
Из (3) и (4) получаем
(5)
Рассмотрим правую часть (5). Так как , то , следовательно, вся правая часть .
Это значит, что
(6)
Т.к. , то соотношение (6) верно и для .
Таким образом, получаем:
А эта формула означает, что последовательность является фундаментальной последовательностью в метрическом пространстве . В силу условия теоремы о том, что метрическое пространство полное, получаем, что последовательность является сходящейся последовательностью, т.е. существует такой элемент .
Рассмотрим равенство
, которое верно для (7)
Исследуем левую часть (7): , исследуем правую часть (7): . Т.к. отображение по условию теоремы сжимающее, то оно непрерывно и, следовательно, применяя теорему об эквивалентном условии непрерывности, получаем .
Переходя в общих частях равенства (6) к пределу при , получаем в пределе , т.е. - неподвижная точка отображение .
Таким образом, доказали, конструктивно построив, существование неподвижной точки. Единственность неподвижной точки следует из доказанной выше теоремы.
Замечание.
Из неравенства (5), доказанного в теореме, можем получить скорость приближения построенных итераций к неподвижной точке.
Действительно, переходя в (5) к пределу при , и учитывая, что , получаем
(8)
10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
Пусть имеем множество . Его подмножества будем обозначать Пустое подмножество множества обозначим . Совокупность всех подмножеств множества : .
Элементы множества называются точками.
А также на введены операции :
Объединение:
Пересечение:
Разность:
Дополнение:
Симметрическая разность:
.
Свойства:
дистрибутивность;
ассоциативность;
коммутативность.
Семейство мн-в наз-ся непересекающимися, если любые взятые из этого семейства мн-ва попарно не пересекаются.
Определение. Система подмножеств S множества , которая содержится в , называется полукольцом, если:
1)
2)
Примеры полуколец.
Пусть X =R и . Пересечение полуинтервалов – полуинтервал. Множество полуинтервалов образуют полукольцо.
Пусть и - двумерная ячейка.
Пусть и - -мерная ячейка.
Пусть P-полукольцо мн-в . Говорят, что на P задана мера , если AP этому мн-ву А сопоставлено число (A)0, причем выполняются сл условия: 1)
2) --св-во аддитивности.
Это понятие объединяет площади, длины и т.д.
Возьмем в качестве Р пример 4
1)([a;b))=b-a -длина
2)возьмем полукольцо из примера 5.
--получили площадь.
3) возьмем полукольцо из примера 6
Св-ва меры:
1)
Действительно (3)
из (3) .
2) Монотонность меры.
Очевидно, т.к.
Применим аддитивность: