- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
23. Теорема о тензорном произведении мер.
Определение. Пусть - мера на полукольце , - мера на полукольце и -полукольцо. Определим на полукольце S - меру , где , . Тогда - называется тензорным произведением и и записывается следующим образом: .
Теорема (о тензорном произведении мер).
Тензорным произведение мер является мерой, т.е. если - мера на пространстве , а - мера на пространстве , то является мерой на пространстве .
Доказательство.
I. Возьмем -полукольца множеств на пространствах соответственно. Тогда представляется в виде:
, где , тогда .
II. Докажем, что если , где , тогда
- это свойство аддитивности меры .
Для этого рассмотрим характеристическую функцию
(1)
Т.к. , где , тогда
(2)
Аналогично, , где , тогда (3)
Поскольку , то (4)
Подставляем (2), (3), (4) в (1):
(5)
Т.к. характеристическая функция множеств является интегрируемой, то можно проинтегрировать равенство по :
Получаем:
(6)
Полученное соотношение (6) проинтегрируем по множеству :
Получаем:
Из этого по определению следует: .
Таким образом, доказали аддитивность .
Итак, - неотрицательна и аддитивна, значит является мерой.
24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
Интеграл от функции называется интегралом Лебега:
, иногда пишут .
Будем рассматривать интегралы
и .
Эти интегралы называют повторными.
Теорема Фубини.(о связи между двойным интегралом и повторными интегралами)
Если функция интегрируема по тензорному произведению мер , т.е. существует интеграл .Тогда существуют повторные интегралы:
и и имеет место рав-во
= + . Обратное неверно.
Теорема Тонелли.
Если функция измерима по мере и существует хотя бы один из повторных интегралов , тогда функция интегрируема по мере и существует двойной интеграл, причем он равен повторным.
25.Опр-е векторного пр-ва. Алгебр. операции над мн-вами.
Пусть – поле действительных чисел или поле комплексных чисел и будем рассматривать векторные пространства над этим полем. Это значит, будем рассматривать:
1) ;
2) операцией умножения
называется произведение числа на элемент , при этом должны выполняться некоторые свойства:
1. - коммутативная группа относительно сложения.
а) ассоциативность:
,
существует нейтральный элемент, т.е.
существует обратный элемент, т.е.
коммутативность:
,
2. Аксиома дистрибутивности.
a)
b)
c)
3. Условие нормировки.
Алгебр операции над мн-вами
Если и - два подмножества из векторного пространства , т.е. , то определим
.
Если одно из этих множеств является одноточечным, например , то будем писать . Соответственно, если , то .
Аналогично для умножения. Пусть . Определим подмножество
Если -одноточечное, т.е. , то будем писать , а если , то .
Пример 1. Рассмотрим множества и .
Тогда – открытая правая полуплоскость.
Пример 2. Пусть , тогда , а , следовательно, .