- •1.Метрические пр-ва. Шары, открытые и закрытые мн-ва.
- •7.Непрерывн. Отобр., св-ва.
- •8.Сжимающие отобр-я, св-ва
- •9. Принцип неподвижной точки
- •10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- •11.Кольца мн-в и их св-ва
- •12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо
- •13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах
- •14.Внешняя мера и ее св-ва
- •15.Ступенчатые ф-ции
- •16.Интеграл от ступенчатой ф-ции
- •17.Интеграл от интегрируемой ступенчатой ф-ции
- •18.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •19.Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
- •20.Интегрируемые ф-ции. Интеграл Лебега.
- •22.Тензорное произведение мер
- •23. Теорема о тензорном произведении мер.
- •24. Двойные и повторн инт от тенз произв. Т.Фубини и Тонелли.
- •26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
- •28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
- •29.Линейный оператор. Св-ва.
- •30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
Определение. Множество называется подпространством векторного пространства , если замкнуто относительно всех тех операций, которые введены в , а именно:
1)
2)
иногда 1)-2) заменяют одной общей аксиомой
3)
Если и - два подмножества из векторного пространства , т.е. , то определим
.
Если одно из этих множеств является одноточечным, например , то будем писать . Соответственно, если , то .
Аналогично для умножения. Пусть . Определим подмножество
Если -одноточечное, т.е. , то будем писать , а если , то .
Пример 1. Рассмотрим множества и .
Тогда – открытая правая полуплоскость.
Пример 2. Пусть , тогда , а , следовательно, .
Для того, чтобы определить фактор-пространство, введем векторное подпространство в векторном пространстве Х, т.е. .
Определение. Пусть , будем называть эквивалентными x~y, тогда и только тогда, когда .
Свойства отношения эквивалентности:
симметричность:
,т.е.
рефлексивность:
3) транзитивность:
Класс эквивалентности обозначим
Определение. Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством пространства по подпространству и обозначается
Определим и , таким образом, определили операции над элементами фактор-множества.
Определение. называется фактор-пространством
27. ЛНЗ сис-мы. Базисы. Пример.
Определение. Говорят, что система векторов линейно независима, если из условия, что линейная комбинация . В противном случае система векторов называется линейно зависимой.
Определение: подмножество называется линейно независимым, если для любого конечного числа система линейно независима.
Определение: если в векторном пространстве существует бесконечная линейно независимая система, то векторное пространство называется бесконечномерным, в противном случае существует только лишь конечная система, называемая конечномерным.
Пример: пусть , , , k=0,1,2,…-линейно независимая система и пространство бесконечномерное.
Пример: Х= --мн-во всех мн-нов ВП. .В качестве сис-мы возьмем
. Рассмотрим ЛК . (2) Покажем , что . Продиф-ем (2) раз
Продиф-ем раз
В итоге сис-ма -ЛНЗ -ЛНЗ
Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.
Теорема. В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.
28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
Определение: множество называется порождающим, если линейная оболочка этого множества совпадает с самим множеством, т.е.
Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.
Теорема (о сущ-нии алг базиса). В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.
Если этот базис состоит из счетного числа эл-ментов, то его наз-ют счетномерным. Пр-во с конечным базисом --n-мерное конечномерное пр-во.
Возьмем --мн-во полиномов, степень к-рых не превосходит n.
Размерность любого пр-ва --dimX. dim = n+1.
.