- •Глава III. Теория вероятностей
- •3.1. Основные понятия
- •1. Алгебра событий
- •2. Вероятностное пространство
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •4. Независимость событий
- •5. Классическое вероятностное пространство
- •6. Элементы комбинаторики
- •7. Геометрические вероятности
- •Напомним соответствующие определения:
- •8. Упражнения и задачи
- •3.2. Контрольная работа №1 по теории вероятностей
- •3.3. Случайные величины
- •2. Дискретные случайные величины
- •3. Примеры дискретных случайных величин
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона.
- •4. Непрерывные случайные величины
- •1. Свойства плотности распределения
- •2. Приведем примеры непрерывных распределений
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •3. Свойства математического ожидания случайной величины
- •4. Свойства дисперсии случайной величины
- •5. Рассмотрим практические упражнения.
- •6. Формула Лапласа
- •1. Локальная формула Муавра-Лапласа
- •2. Интегральная формула Муавра-Лапласа
- •7. Распределение Пуассона
- •8. Контрольная работа №2 по теории вероятностей
- •Основная литература
8. Контрольная работа №2 по теории вероятностей
Задача 1. Дискретная случайная величина дана таблицей распределения вероятностей. Найти: функцию распределения F(x) и построить график этой функции M(X), D(X), , V(X), ;
Вариант 1
x |
2 |
3 |
5 |
P |
0,7 |
|
0,2 |
Вариант 2
X |
1 |
3 |
5 |
6 |
P |
0,5 |
|
0,2 |
0,1 |
Вариант 3
x |
3 |
5 |
8 |
P |
|
0,4 |
0,1 |
Вариант 4
X |
1 |
2 |
4 |
6 |
P |
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Вариант 5
x |
2 |
4 |
7 |
P |
|
0,3 |
0,1 |
Вариант 6
X |
1 |
3 |
4 |
6 |
P |
0,4 |
0,2 |
|
0,2 |
Вариант 7
x |
4 |
6 |
9 |
P |
|
0,3 |
0,1 |
Вариант 8
X |
1 |
2 |
4 |
7 |
P |
0,3 |
0,2 |
|
0,1 |
Вариант 9
x |
3 |
5 |
9 |
P |
|
0,6 |
0,1 |
Вариант 10
X |
2 |
3 |
5 |
7 |
P |
|
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Задание 2.
Вариант 1. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 2. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 3. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 4. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 5. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 6. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 7. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 8. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 9. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Вариант 10. Непрерывная случайная величина X дана дифференциальной функцией распределения
1. Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), , V(X), ; 2. Построить графики функций f(x) и F(x).
Задание 3.
1. Прочность образцов пряжи, как случайная величина, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. Средняя прочность равна 240 сн, . Определить долю образцов пряжи, обладающих прочностью от 200 сн до 250 сн.
2. Прочность 50 – миллиметровых образцов ровницы, как случайная величина, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. Средняя прочность равна 230 сн, . Определить долю образцов пряжи, обладающих прочностью от 180 сн до 250 сн.
3. Швейная фабрика выпускает мужские костюмы для некоторого региона, где средний рост взрослых мужчин равен 171,2 см, . Определить процент удовлетворенности населения, если ограничиться выпуском костюмов, соответствующих ростам от 166 см до 189 см.
4. В результате антропологических исследований населения некоторого региона было установлено, что средний обхват груди мужчин равен 95,1 см, . Определить долю мужчин в этом регионе, имеющих обхват груди от 86 см до 105 см.
5. Средний рост девочек от 14-16 лет некоторого региона равен 160, 2 см, Какой процент всех девочек имеет рост, отклоняющийся от среднего значения в ту или другую сторону на н 5 см.
6. Средний обхват груди взрослого женского населения некоторого региона равен 102,3см, (коэффициент вариации). Какой процент всех женщин имеет обхват груди, отклоняющийся от среднего значения в ту или другую сторону на 4 см.
7. Прочность образцов пряжи, как случайная величина, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. Средняя прочность равна 230 сн, . Определить долю образцов пряжи, обладающих прочностью от 210 сн до 260 сн.
8. Прочность 50 – миллиметровых образцов ровницы, как случайная величина, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. Средняя прочность равна 220 сн, . Определить долю образцов пряжи, обладающих прочностью от 185 сн до 245
9. Швейная фабрика выпускает мужские костюмы для некоторого региона, где средний рост взрослых мужчин равен 173,1 см, . Определить процент удовлетворенности населения, если ограничиться выпуском костюмов, соответствующих ростам от 165 см до 190 см.
10. В результате антропологических исследований населения некоторого региона было установлено, что средний обхват груди мужчин равен 92,3 см, . Определить долю мужчин в этом регионе, имеющих обхват груди от 84 см до 106 см.
Задание 4.
Вариант 1. Смесь состоит из хлопка и шерсти в пропорции 3:2. Пусть X- число хлопковых волокон в случайном соединении 5 волокон.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; P(2<X<5).
Вариант 2. Смесь состоит из 20% хлопка и 80% шерсти.. Пусть X- число хлопковых волокон в случайном соединении 5 волокон.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 3. Смесь состоит из хлопка и лавсана в пропорции 1:3. Пусть X- число шерстяных волокон в случайном соединении 6 волокон.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 4. В ящике большое количество катушек с нитками разных цветов, из них 40% черных. Пусть X- число катушек с нитками черного цвета среди 7 наугад взятых катушек.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 5. В ящике большое количество початков с крашеной и некрашеной пряжей в пропорции 1:4 . Пусть X- число початков с крашеной пряжей среди 6 наугад взятых початков.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 6. На швейную фабрику поступает товар с двух ткацких фабрик в пропорции 1:3. Пусть X- число кусков товара, сработанных первой фабрикой, среди 5 наугад взятых кусков.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 7. Швейная фабрика выпускает 40% пальто 50 размера. Пусть X- число пальто 50 размера среди 6 случайно отобранных пальто.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 8. Смесь состоит из хлопка и шерсти в пропорции 3:5. Пусть X- число хлопковых волокон в случайном соединении 4 волокон.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; P(2<X).
Вариант 9. В ящике большое количество катушек с нитками разных цветов, из них 60% черных. Пусть X- число катушек с нитками черного цвета среди 6 наугад взятых катушек.
1) Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Вариант 10. Швейная фабрика выпускает 25% костюмов 52 размера. Пусть X- число костюмов 52 размера среди 5 случайно отобранных костюмов.
Составить закон распределения случайной величины X. 2) Найти M(X); D(X); ; .
Задание 5.
Вариант 1. Вероятность того, что деталь не прошла ОТК, равна р=0,4. Определить вероятность того, что среди 200 случайно отобранных деталей:
1) непроверенных окажется ровно 10 деталей; 2) непроверенных от 20 до 50.
Вариант 2. Вероятность появления события А в каждом испытании равна р=0,2. Определить вероятность того, что при 200 испытаниях событие А появится: 1) ровно 30 раз; 2) 40 до 100.
Вариант 3. В цехе швейной фабрики имеется 50 машин. Вероятность замены некоторой детали за время Т равна 0,2. Определить вероятность того, что наличие восьми таких запасных деталей обеспечит бесперебойную работу цеха из-за их отсутствия в течение времени Т.
Вариант 4. В швейном цехе имеется 50 машин. Вероятность замены некоторой детали за время Т равна 0,2. Сколько следует иметь в запасе этих деталей, чтобы с вероятностью 0,954 обеспечить бесперебойную работу всего цеха в течение времени Т?
Вариант 5. Смесь состоит из хлопка и шерсти в пропорции 3:5. Пусть X- число хлопковых волокон в случайном соединении 100 волокон.
1) Определить . 2) Найти наивероятнейшее число, а также вероятность этого числа.
Вариант 6. Известно, что 80% ткани выдерживает гарантийный срок на износостойкость. Определить вероятность того, что из 400 образцов ткани число выдержавших этот строк: 1) равен 60; 2) от 60 до 100.
Вариант 7. Швея в среднем изготовляет 70% изделий первого сорта. Пусть Х-число изделий первого сорта среди случайно отобранных 120 изделий.
1) Определить . 2) Найти наиболее вероятное число изделий первого сорта, а также вероятность этого числа.
Вариант 8. В швейном цехе имеется 100 машин. Вероятность того, что за время Т сломается одна игла равна 0,08. Сколько следует иметь запасных игл, чтобы с вероятностью 0,954 обеспечить бесперебойную работу всех машин?
Вариант 9. В цехе находятся 160 однотипных станков. Вероятность того, что в течение времени Т остановится каждый станок равна 0,25. Пусть Х- число остановившихся станков за время Т. Определить .
2) Найти наивероятнейшее число, а также вероятность этого числа.
Вариант 10. В ткацком цехе 100 станков. Вероятность того, что за время Т какой-нибудь из челноков требует замены, рана 0,12.. Сколько следует иметь запасных челноков, чтобы с вероятностью 0,954 обеспечить бесперебойную работу всех станков в течение времени Т?
Задание 6.
1. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут: на 5 веретенах; 2) не более чем на 6 веретенах.
2. Прядильщица в среднем ликвидирует 120 обрывов в течение часа на 1000 веретен. Определить вероятность того, что в течение 3 мин потребуется ликвидировать 1) 4 обрыва; 2) менее 5 обрывов.
3. Прядильщица обслуживает 500 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,006. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут:
на 4 веретенах; 2) более чем на 3 веретенах.
4. Прядильщица в среднем ликвидирует 120 обрывов в течение часа на 500 веретен. Определить вероятность того, что в течение 4 мин потребуется ликвидировать 1) 3 обрыва; 2) более 3 обрывов.
5. Мотальщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,003. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут: на 6 веретенах; 2) не более чем на 4 веретенах.
6. Прядильщица в среднем ликвидирует 180 обрывов в течение часа на 1000 веретен. Определить вероятность того, что в течение 2 мин потребуется ликвидировать 1) 3 обрыва; 2) менее 4 обрывов.
7. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,005. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут: на 6 веретенах; 2) более чем на 4 веретенах.
8. Прядильщица в среднем ликвидирует 120 обрывов в течение часа на 500 веретен. Определить вероятность того, что в течение 3 мин потребуется ликвидировать 1) 2 обрыва; 2) более 4 обрывов.
9. Мотальщица обслуживает 500 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,008. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут: на 7 веретенах; 2) не более чем на 8 веретенах.
10. Прядильщица в среднем ликвидирует 90 обрывов в течение часа на 1000 веретен. Определить вероятность того, что в течение 4 мин потребуется ликвидировать 1) 8 обрыва; 2) менее 8 обрывов.