- •Глава III. Теория вероятностей
- •3.1. Основные понятия
- •1. Алгебра событий
- •2. Вероятностное пространство
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •4. Независимость событий
- •5. Классическое вероятностное пространство
- •6. Элементы комбинаторики
- •7. Геометрические вероятности
- •Напомним соответствующие определения:
- •8. Упражнения и задачи
- •3.2. Контрольная работа №1 по теории вероятностей
- •3.3. Случайные величины
- •2. Дискретные случайные величины
- •3. Примеры дискретных случайных величин
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона.
- •4. Непрерывные случайные величины
- •1. Свойства плотности распределения
- •2. Приведем примеры непрерывных распределений
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •3. Свойства математического ожидания случайной величины
- •4. Свойства дисперсии случайной величины
- •5. Рассмотрим практические упражнения.
- •6. Формула Лапласа
- •1. Локальная формула Муавра-Лапласа
- •2. Интегральная формула Муавра-Лапласа
- •7. Распределение Пуассона
- •8. Контрольная работа №2 по теории вероятностей
- •Основная литература
5. Рассмотрим практические упражнения.
1. Дискретная случайная величина Х дана таблицей распределения вероятностей
Х |
2 |
3 |
6 |
P |
0,3 |
0,6 |
0,1 |
Вычислить числовые характеристики М (Х), D (X), , V(X).
Находим математическое ожидание
.
Дисперсию вычислим по формуле
.
Составим закон распределения для случайной величины
|
4 |
9 |
36 |
P |
0,3 |
0,6 |
0,1 |
Вычислим .
Итак,
D(X) = 10,2 - .
Находим среднее квадратическое отклонение
.
Определим коэффициент вариации
%.
2. Две независимые дискретные случайные величины даны таблицами распределения вероятностей
X |
2 |
|
P |
0,6 |
0,4 |
Y |
|
|
|
P |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
Определить: М (2X + 3Y), D (X + 2), D (3X + 2Y), M (2XY).
Составить таблицу распределения вероятностей для случайной величины X + Y.
При вычислении числовых характеристик воспользуемся их свойствами. Для этого предварительно вычислим M(X), D(X), M(Y), D(Y).
Имеем
; ;
На основании свойств линейности математического ожидания имеем
М (2X + 3Y) = 2M (X) +3M(Y) = ; Далее на основании свойства 4 дисперсии имеем D (X + 2) = D(X) = 0,24;
C учетом свойств дисперсии 4 и 5 получим
D (3X + 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 12,6.
На основании свойства 4 математического ожидания имеем
Теперь составим закон распределения случайной величины X+Y.
Возможные значения случайной величины X+Y равны всевозможным суммам случайной величины Х со случайной величиной Y, то есть:
,
.
Находим вероятности возможных значений. В частности, . Так как случайные величины X, Y независимые, поэтому события в свою очередь являются независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий имеем
.
Итак,
Аналогично,
;
;
;
;
;
Теперь составим таблицу распределения вероятностей для случайной величины X+Y
X+Y |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
P |
0,36 |
0,24 |
0,18 |
0,12 |
0,06 |
0,04 |
Замечание. В качестве самоконтроля следует проверить сумму элементов второй строки, то есть, равна ли единице. В самом деле, имеем
0,36 + 0,24 + 0,18 + 0,12 + 0,06 + 0,04 = 1.
3. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X
.
Найти: Функцию распределения F(x); математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации; P(1 < X < 6); Построить графики функций f (x), F (x).
Пользуясь формулой , найдем интегральную функцию распределения F(x). Будем искать по промежуткам для любого имеем
Если , то
При >2, имеем
Итак, функция распределения
.
Находим математическое ожидание
.
Определим дисперсию по формуле
. Итак,
Находим .
Определим коэффициент вариации
%.
Вычислим P (1 < X < 6) при помощи интегральной функции
.
Если же дана плотность распределения, то можно найти следующим образом
.