3. Примеры дискретных случайных величин

1. Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с постоянной вероятностью Р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Рассматриваемая случайная величина Х может принимать значения 1,2,...,n, при этом вероятности возможных значений определяются по формуле Бернулли

- число сочетаний из n элементов по m элементов, причем .

2. Распределение Пуассона.

Закон распределения Пуассона в виде таблицы имеет вид

X	0	1	...	N	...
P					...

а (а >0) - параметр распределения Пуассона.

Рассмотрим следующий пример.

Дискретная случайная величина Х дана таблицей

Х	2	4	7
P	0,1	0,3	0,6

1. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить график этой функции. 2) Найти .

Возможными значениями рассматриваемой случайной величины Х суть числа - 2, 4, 7. Функцию распределения F(x) находим по промежуткам согласно ее определению .

График функции распределения F(x) представляет собой ступенчатый график.

Требуемые вероятности находим, используя следующее свойство функции распределения

.

Итак, ;

4. Непрерывные случайные величины

Как мы заметили, для дискретной случайной величины, функция распределения F(x) представляет ступенчатую (ярусную) функцию. Представляет интерес случай, когда функция распределения F(x) случайной величины Х является непрерывной на всей прямой, в этом случае случайную величину будем называть непрерывной. Обычно значения непрерывной случайной величины заполняют сплошь некоторый интервал или всю числовую прямую.

Пусть существует производная интегральной функции на всей числовой прямой, то есть . При этом функция f(x) называется плотностью распределения или дифференциальной функцией случайной величины. Итак, закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан функцией распределения F(x) или плотностью распределения f(x).

1. Свойства плотности распределения

1. ,т.е. функция неотрицательная;

2. ;

3. .

Заметим, что для непрерывных случайных величин справедливо следующее:

.

2. Приведем примеры непрерывных распределений

1. Равномерное распределение на [a, b] – это случайная величина с плотностью распределения

Интегральная функция равномерного распределения имеет вид

2. Нормальное распределение или распределение Гаусса с параметрами - это случайная величина с плотностью распределения

.

При распределение называется стандартным нормальным распределением. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а и имеет максимальную ординату , ось ох является горизонтальной асимптотой. Заметим, что изменение параметра влияет на форму кривой Гаусса, однако значения параметра а не влияют на форму этой кривой. С изменением а график нормальной кривой смешается в направлении оси ОХ. При этом площадь между нормальной кривой и осью ОХ равна 1 при всех значениях параметров а, .

Интегральная функция нормального распределения записывается так

.

3. Показательное распределение - это случайная величина с плотностью распределения

.