1.2 Основы теории определителей. Правило Крамера.

Определение. Матрицей размера m  n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа a₁₁; a₁₂; …; a_mn называются элементами матрицы A, причем элемент a_ij расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Матрица называется прямоугольной, если m  n.

Матрица называется квадратной, если m = n, при этом n называется порядком квадратной матрицы. Например, A = (a₁₁)  квадратная матрица первого порядка, состоящая из одного элемента а₁₁;  квадратная матрица второго порядка.

Определение. Транспонированием матрицы A называется преобразование, делающее строки этой матрицы столбцами, в результате чего получается новая матрица A^T:

,

Далее в пределах данного раздела будем рассматривать только квадратные матрицы.

Определение. Всякой квадратной матрице A порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем или детерминантом этой матрицы и обозначается:

det A, или .

При этом определитель матрицы первого порядка A = (a₁₁) равен ее элементу:

, (1.2)

определитель матрицы второго порядка A = равен:

, (1.3)

определитель матрицы третьего порядка A = вычисляется по формуле:

(1.4)

Правило вычисления определителей матриц более высоких порядков введем несколько ниже.

Для запоминания формулы (1.4) следует учесть, что первые три слагаемые, входящие со знаком «плюс», вычисляются как тройные произведения элементов матрицы по схеме, изображенной на рис.1.1 слева. При этом a₁₁a₂₂a₃₃  произведение элементов, стоящих на диагонали, называемой главной, а два другие слагаемые  произведения элементов, расположенных в вершинах обозначенных на схеме треугольников. Слагаемые со знаком «минус» вычисляются по схеме, изображенной на рис. 1.1 справа. При этом a₃₁a₂₂a₁₃  произведение элементов на другой диагонали, а остальные два слагаемые  произведения элементов, стоящих в вершинах соответствующих треугольников.

П ример 1.10 1) ;

2)

В дальнейшем для краткости будем употреблять термины: «определитель порядка n», «строка определителя», «столбец определителя», понимая под этим, соответственно, определитель матрицы порядка n, а также строку или столбец этой матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу A произвольного порядка n. Хотя существует определение понятия ее детерминанта непосредственно через элементы матрицы по формуле, аналогичной (1.3) или (1.4), однако, уже при n = 4 эта формула весьма громоздка, поэтому будем определять детерминант порядка n через детерминант порядка n  1. Для этого введем ряд понятий.

Определение. Дополнительным минором M_ij к элементу a_ij матрицы A порядка n называется определитель матрицы порядка n  1, получающейся из A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит a_ij.

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы A называется величина, равная выражению: (1)^i+jM_ij (т.е. равная минору M_ij , если сумма индексов i + j четна и равная M_ij, если эта сумма нечетна).

Пример 1.11. . Рассмотрим элемент a₁₁ = 1.

Вычеркнув первую строку и первый столбец, получим матрицу . Согласно определению .

Теперь выберем, например, элемент :

.

Аналогично получаются дополнительные миноры и алгебраические дополнения остальных элементов.

Пример 1.12. . Здесь дополнительные миноры элементов матрицы представляют собой соответствующие определители первого порядка, при этом M₁₁ = 4; M₁₂ = 3, M₂₁ = 2, M₂₂ = 1, A₁₁ = 4; A₁₂ = 3; A₂₁ = 2; A₂₂ = 1.

Правило вычисления определителя порядка n (n  2). Определитель порядка n равен сумме попарных произведений элементов любой его строки (или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов:

= a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + … + a_inA_in (1.5)

 формула разложения определителя по элементам i-й строки, или

= a_1jA_1j + a_2jA_2j + … + a_njA_nj

 формула разложения определителя по элементам j-го столбца. Можно доказать, что выражение стоящее справа в этих формулах не зависит от номера строки или столбца.

Пример 1.13. Вычислим с помощью разложения по элементам первой строки:

Легко проверить, что если вычислять по формуле (1.4), то получится то же значение. Тот же результат будет и при разложении по элементам любой другой строки или любого столбца.

Пример 1.14. Вычислим с помощью разложения по элементам второй строки:

Замечания.

1. При вычислении определителя второго порядка разложение по элементам любой строки или столбца дает формулу (1.3). Например, по первой строке:

.

2. Для определителя третьего порядка из формулы (1.5) также можно получить формулу (1.4) и, наоборот, из формулы (1.4) формулу (1.5).

3. Вычисление определителя матрицы большого порядка непосредственно по формуле (1.5), как правило, весьма трудоемко. Например, определитель, пятого порядка выражается через пять определителей четвертого порядка, каждый из которых, в свою очередь, выражается через четыре определителя третьего порядка. Таким образом, перед применением формулы (1.5) часто имеет смысл провести некоторые преобразования исходной матрицы, упрощающие вычисление ее детерминанта. При этом следует использовать свойства определителей, которые сейчас будут сформулированы. Эти свойства, справедливые для определителей любого порядка, для случая 2-го или 3-го порядка легко проверить с помощью формул (1.3) или (1.4).