Глава 2 элементы векторной алгебры

2.1 Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами.

Определение. Величина, которая полностью определяется своим числовым значением, называется скалярной (например, температура, масса, длина).

Величина, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве, называется векторной (скорость, сила и т.д.).

О пределение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий длину (модуль), начало (точку приложения) и конец.

Векторную величину можно изобразить с помощью геометрического вектора, который в дальнейшем будем называть просто вектором (хотя понятие «вектор» в математике имеет более широкий смысл). Вектор обозначают: или (рис.2.1). Модуль вектора обозначают или .

Если из физических соображений вектор можно переносить параллельно самому себе, т.е. если важны только его модуль и направление линии его действия, а точка приложения совершенно не важна, то такой вектор называется свободным (например, скорость поступательного движения твердого тела).

Если вектор можно переносить только вдоль линии его действия, т.е. если существенны модуль вектора, линия действия и направление вдоль нее, а точка приложения на ней не важна, то вектор называется скользящим (например, сила действующая на абсолютно твердое тело).

Если же по физическим соображениям вектор переносить вообще нельзя, т.е. его точка приложения фиксирована, то вектор называется связанным (например, сила, действующая на деформируемое твердое тело).

Далее будем рассматривать только свободные векторы.

Определения. Нуль-вектором называется вектор, модуль которого равен нулю (т.е. начало и конец совпадают). Направление не определено.

Векторы и называются коллинеарными: если линии их действия параллельны или совпадают.

Векторы и называются равными: если они имеют равные модули, коллинеарны и направлены в одну сторону.

Векторы и называются противоположными: если они имеют равные модули, коллинеарны и противоположно направлены. Так, например,

Векторы называются компланарными, если линии их действия параллельны одной плоскости.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Сложение. Рассмотрим векторы и . Построим из произвольной точки вектор (это называется привести к точке ) и затем из точки построим вектор (рис.2.2).

В ектор называется суммой векторов и и обозначается . Это называется правилом треугольника. Аналогично по правилу многоугольника определяется сумма векторов: (рис.2.3).

Умножение на число. Произведением вектора на число называется вектор (или ), имеющий длину и коллинеарный . При этом направления и совпадают, если и противоположны, если (рис. 2.4).

И з данного определения следует, что

Разностью векторов и называется такой вектор что (рис. 2.5).

Делением вектора на число называется операция умножения этого вектора на число .

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице.

Из определения умножения вектора на число следует:

(2.1)

где  орт, коллинеарный и одинаково с ним направленный.

Свойства линейных операций

где  действительные числа.

Свойство означает правило параллелограмма, согласно которому суммой является соответственно направленная диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2.6).

О пределение. Углом между векторами и называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов, приведенных к общему началу, до совпадения его направления с направлением другого вектора (рис. 2.7); .

Если то векторы и называются ортогональными (перпендикулярными): .

Определения. Осью называется прямая с выделенным на ней направлением. Ей можно поставить в соответствие орт задающий это направление.

Углом между вектором и осью называется угол между этим вектором и ортом оси.

Ортогональной (прямоугольной) проекцией точки на ось (плоскость ) называется точка являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из на ось (плоскость ). Проекцию на ось можно получить как точку пересечения оси с плоскостью, проходящей через и перпендикулярной (рис. 2.8).

О ртогональной составляющей вектора по оси (плоскости ) называется вектор начало и конец которого являются ортогональными проекциями на ось (плоскость ), соответственно начала и конца вектора (см. рис. 2.9).

Ортогональной проекцией на ось : называется число, равное:

где  угол между и осью . (2.2)

Эта величина положительна, если острый, отрицательна, если тупой и равна нулю, если . Заметим, что для составляющей по оси справедливо соотношение:

где  орт оси (2.3)

Аналогично определяется ортогональная проекция вектора на вектор : где  угол между и .

В дальнейшем, говоря о проекциях, слово «ортогональная» всюду будем опускать.

Свойства проекций векторов на ось.

Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций каждого из слагаемых на ту же ось:

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножится на это число:

 любое действительное число.

Условие коллинеарности векторов. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно выполнение условия: где - некоторое отличное от нуля действительное число.

Заметим, что поскольку направление нуль-вектора не определено, его можно считать коллинеарным любому вектору.

Условие компланарности векторов. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно выполнение условия: где  некоторые действительные числа.

Заметим, что три вектора, среди которых есть нуль-вектор, можно считать компланарными.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в трехмерном пространстве векторов.

Упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется базисом на множестве векторов, компланарных этой паре.

Ненулевой вектор образует базис на множестве векторов, коллинеарных этому вектору.

Указанные базисы будем называть, соответственно, трехмерным, двумерным и одномерным.

Теорема. Если  базис, то любой вектор можно единственным образом представить в виде:

(  действительные числа). (2.4)

Рис. 2.10 иллюстрирует данное утверждение, при этом векторы базиса и вектор приведены к одному началу .

С огласно правилу сложения векторов: причем

Аналогичное утверждение справедливо для двумерного (рис. 2.11) и одномерного базисов:

или (2.5)

Определение. Числа в формуле (2.4) называются координатами вектора в базисе а само соотношение (2.4) называется разложением вектора по этому базису.

Аналогично, или в (2.5) - координаты вектора в двумерном или одномерном базисе.

Свойства координат вектора.

Пусть тогда:

 любое число.

Замечание. Базисов можно выбрать бесчисленное множество, при этом координаты вектора зависят от выбранного базиса.

Рассмотрим базис Приведем эти векторы к общему началу и посмотрим на плоскость, определяемую векторами с той ее стороны, в которую направлен вектор Если мы увидим, что поворот от к по наикратчайшему пути должен совершаться против часовой стрелки, то такой базис называется правым, если же по часовой стрелке, то  левым (рис. 2.12).

Т акое название возникло потому, что если базис изобразить большим, указательным и средним пальцами, то им соответствует на правой руке  правый базис, а на левой  левый.

Определение. Если все векторы базиса единичные и попарно ортогональны, то базис называется ортонормированным (обозначается ). Координаты вектора в этом базисе называются прямоугольными декартовыми; их будем обозначать: т.е. Будем также пользоваться обозначением:

Определение. Говорят, что в трехмерном пространстве введена прямоугольная декартова система координат если заданы:

1) начало координат

2) ортонормированный базис, приведенный к точке

3) координатные оси (ось абсцисс, ординат и аппликат), проведенные через точку в направлениях (рис. 2.13).

Система координат называется правой (левой), если ей соответствует правый (левый) базис

Рассмотрим вектор Обозначим  углы между вектором и осями координат. Заметим, что составляющими вектора по осям являются векторы причем выполняются соотношения:

(2.6)

т.е. декартовы координаты вектора являются его проекциями на координатные оси.

Величины называются направляющими косинусами вектора

Аналогично определяется прямоугольная декартова система координат с базисом на плоскости.

П ример 2.1. Построить вектор

Рис. 2.14 иллюстрирует решение, причем заметим, что вектор можно провести из любой точки параллельным переносом вектора, построенного из начала координат.

О пределение. Прямоугольными декартовыми координатами точки (обозначается: ) в системе координат называются координаты вектора в базисе Вектор называется радиус-вектором точки

Пусть даны точки: и Поскольку (рис. 2.15), то, согласно определению координат точки и свойству координат вектора, получим:

(2.7)

Согласно этому соотношению, для модулей вектора и вектора справедливы формулы:

(2.8)

Для орта выполняется:

(2.9)

т.е. координатами орта являются его направляющие косинусы, а поскольку модуль орта равен единице, то

(2.10)

Условие коллинеарности векторов в координатной форме. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны (  некоторое число):

или (2.11)

Пример 2.2. Треугольник задан своими вершинами: Найти длину медианы (рис. 2.16).

Решение. Рассмотрим векторы и Поскольку

то