Глава 3 аналитическая геометрия
3.1 Понятие геометрического места точек
Определение. Геометрическим местом точек на плоскости (в пространстве) называется множество точек плоскости (пространства), которые удовлетворяют некоторым заданным геометрическим условиям, причем любая точка вне этого множества таким условиям не удовлетворяет.
Так, например, геометрическим местом
точек плоскости, равноудаленных от
заданной точки
на заданное расстояние
является окружность радиуса
с центром в точке
Введем на плоскости прямоугольную
декартову систему координат
Поскольку любая точка
определяется своими координатами, то
геометрическое место точек на плоскости
можно описать некоторыми соотношениями,
содержащими
и
Пример 3.1. 1) Уравнение
определяет
окружность с центром в начале координат
и радиусом равным 3.
2) Неравенству
соответствует круг с центром в точке
и радиусом равным 4.
Определение. Линией на плоскости,
определяемой уравнением
называется геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют этому
уравнению.
Так, в примере 3.1 для окружности
Иногда требуется составить уравнение линии, исходя из описания ее геометрических свойств.
3.2 Прямая на плоскости
Построим уравнение прямой
проходящей через заданную точку
параллельно заданному ненулевому
вектору
который называется направляющим вектором
этой прямой (рис. 3.1). Рассмотрим на
произвольную точку
называемую текущей, и вектор
Условием того, что
лежит на прямой
является условие коллинеарности векторов
и
т.е.
где
произвольное
действительное число. В результате
получим
откуда следуют параметрические
уравнения прямой:
(3.1)
Если ввести радиус-векторы
и
точки
и текущей точки
то уравнения (3.1) можно записать в виде
одного векторного:
(3.2)
Из (3.1) следует, что при
т.е. когда
прямая определяется одним уравнением
(координата
произвольна), (3.3)
при этом прямая параллельна
и пересекает
в точке
Если
т.е.
то уравнением прямой будет:
(координата
произвольна), (3.4)
при этом прямая параллельна
и пересекает
в точке
Из системы (3.1) при
исключением
получается одно уравнение прямой,
называемое каноническим:
(3.5)
В дальнейшем запись вида (3.5) будем
употреблять и для случаев, когда
или
подразумевая, что
или
означает, соответственно, (3.3) или (3.4).
Заметим, что
быть не может, т.к.
Пример 3.2. Написать уравнение прямой,
проходящей через точку
параллельно вектору
1)
решение: 
2)
решение: 
или
3)
решение: 
или
Пример 3.3. Построить уравнение
прямой, проходящей через две точки
и
Решение. Возьмем в качестве
направляющего вектора
а в качестве точки
точку
Уравнением прямой будет
Определение. Пусть две прямые
и
на плоскости пересекаются в точке
У
глом
между
и
называется наименьший угол, на который
следует повернуть прямую
вокруг точки
против хода часовой стрелки до совмещения
ее с прямой
(рис. 3.2). Если
то
Здесь учитывается, в каком порядке
рассматриваются прямые, поскольку
З
аметим,
однако, что в силу традиции под углом
между неперпендикулярными прямыми
часто понимают именно острый угол.
Из соотношения (3.5) при
легко получить уравнение
где
(3.6)
которое
называется приведенным уравнением
прямой или уравнением с угловым
коэффициентом
При этом
где
- угол между осью
и прямой;
- ордината точки пересечения прямой с
осью
(рис. 3.3);
если
острый и
если
тупой.
Замечание. Уравнения (3.1) или (3.5)
содержат четыре заданных параметра:
однако, для построения прямой знание
всех четырех величин необязательно.
Ведь в качестве направляющего вектора
той же прямой можно выбрать любой из
бесчисленного множества векторов,
коллинеарных
да и в качестве
можно взять координаты любой точки,
через которую проходит прямая. На самом
деле, чтобы полностью задать прямую
достаточно задать только две
независимых величины: 1)угол
наклона прямой к оси
(его тангенс); 2) ординату точки пересечения
прямой с осью
а если этой точки не существует (при
),
то абсциссу точки пересечения с
Перейти от уравнения с угловым коэффициентом к каноническому можно таким образом:
т.е. в качестве направляющего вектора
прямой можно взять
Пример 3.4. Построить прямую
и привести ее уравнение к каноническому
виду.
Р
ешение.
Для построения прямой достаточно найти
две точки пересечения ее с осями координат
(рис.3.4):
Каноническим уравнением будет:
Определение. Общим уравнением прямой называется уравнение вида
(3.7)
где
постоянные
коэффициенты, причем
Рассмотрим различные формы, к которым можно привести уравнение (3.7).
1.
тогда
т.е.
уравнение с угловым
коэффициентом, при этом если
то прямая параллельна
2.
тогда
прямая параллельна
3. При
из (3.7) следует:
т.е. при
и
получим
каноническое
уравнение, которое, с учетом замечания
к (3.5), сохранит свой вид и при
Следовательно, при
направляющий вектор
прямой. Если
то
т.е. прямая параллельна
Таким образом,
при любых
и
Вектор
перпендикулярен
т.к.
а значит
перпендикулярен и к рассматриваемой
прямой. Он называется нормальным к
данной прямой (или нормалью к ней).
Пример 3.5. Дана прямая
Построить для нее вектор нормали
и направляющий вектор
Решение. Запишем уравнение прямой
в виде
откуда
Взаимное расположение двух прямых:
прямая
прямая
1.
прямые параллельны.
2.
прямые совпадают.
3.
прямые пересекаются
в точке, координаты которой находятся
из системы уравнений
4.
прямые перпендикулярны.
Эти соотношения легко получить, учитывая координаты направляющих векторов или нормалей к заданным прямым.
Пусть прямые заданы уравнениями с
угловыми коэффициентами:
прямая
прямая
1.
прямые параллельны.
2.
прямые совпадают.
3.
прямые пересекаются.
4.
прямые перпендикулярны.
Последнее утверждение следует из того,
что
и
- векторы нормалей к
и
а условие
означает
т.е.
Пример 3.6. Определить взаимное
расположение прямых:
и
Решение. Запишем второе уравнение
в форме с угловым коэффициентом:
Прямые перпендикулярны, т.к.
Приведем формулу для вычисления тангенса
угла
между прямыми
и
когда обе задаются или общим уравнением,
или уравнением с угловым коэффициентом:
или
(3.8)
Расстояние
от заданной точки
до прямой
(рис. 3.5) находится по формуле
(3.9)
Пример 3.7. Даны две прямые
и
Найти точку
пересечения прямых и угол между ними.
Решение. Координаты точки найдем из решения системы
Ее решение
т.е.
Пример 3.8. Треугольник
задан своими вершинами
Найти длину высоты
(рис. 3.6).
Решение. Прямая, содержащая отрезок
и определяющаяся точкой
и направляющим вектором
описывается уравнением
Согласно (3.9),
У
равнение
прямой с заданным угловым коэффициентом
проходящей через заданную точку
имеет вид
(3.10)
Пример 3.9. Составить уравнение прямой
проходящей через точку
и перпендикулярную прямой
Решение. Согласно (3.10), уравнение
искомой прямой
имеет вид
Перепишем уравнение
в форме
Из условия перпендикулярности прямых
следует, что угловой коэффициент
искомой прямой равен 1/2. Итак, уравнением
прямой
будет:
или
