- •Методическое пособие к курсовой работе по дисциплине «Математические задачи энергетики»
- •Содержание
- •Уравнения установившихся режимов электрических систем
- •1.1 Понятие о режимах электрических систем и схемах замещения
- •1.2 Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричное выражение законов Кирхгофа
- •Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа
- •Вопросы для самопроверки:
- •1.2.2 Вторая матрица инциденций «ветви-контуры» и матричная запись второго закона Кирхгофа
- •1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа
- •1.3 Метод уравнений узловых напряжений
- •1.3.1 Вывод узловых уравнений
- •Здесь [м]т – транспонированная 1-я матрица инциденций,
- •1.3.2 Определение матрицы узловых проводимостей и ее характеристика
- •1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем
- •Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.
- •Вопросы для самопроверки
- •1.6 Расчёт режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения
- •Расчётные токи в узлах сети можно определить как:
- •2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем
- •2.1 Итерационные методы решения систем уравнений
- •2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.1 Теорема сходимости итерации
- •2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов
- •2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами
- •2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов
- •2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ
- •2.4 Применение метода Ньютона для решения для нахождения корней уравнений установившихся режимов
- •2.4.1 Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения
- •2.4.2 Применение метода Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •2.4.3 Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.
- •III. Задание на курсовую работу
- •Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов)
- •Перечень графического материала (в виде компьютерных рисунков в формате а4)
- •IV. Примеры для выполнения разделов курсовой работы
- •С бу оставляем граф-схему замещения электрической сети и нумеруем её ветви и узлы (ребра и вершины) в соответствии с принципом ярусности:
- •Составление элементарных матриц параметров режима [pу], параметров сети [dZв],[dYв] и матриц соединений [м] и [n].
- •Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] и матрицы контурных сопротивлений [Zk]. Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] (См) (без учёта балансирующего узла) производим по формуле:
- •Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей
- •Расчет режима электрической сети на основе линейных контурных уравнений
- •Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.
- •Затем по выражению (8) проверяется точность вычислений:
- •Пример расчета:
- •Третья итерация:
- •Пример расчета:
- •В общем виде итерационный процесс можно записать в виде
- •Третья итерация:
- •Итерационный процесс закончен!
- •Заключение Литература
2.1 Итерационные методы решения систем уравнений
В итерационных методах (или методах последовательного приближения) решение Х* системы
AX = B (87)
получают как предел сходящейся последовательности значений
(88)
Если эта последовательность значений сходится, то разность между двумя соседними приближениями при достаточном числе итераций становится меньше заданной точности расчета х
(89)
Здесь (89) – признак сходимости итерационного процесса.
Для применения итерационных методов необходимо выбрать вектор начального приближения X(0)
(90)
и по рекуррентному соотношению вида
(91)
организовать циклические вычисления
Хк = ( Хк-1)
Построим рекуррентное соотношение для системы уравнений (87). Для этого разрешим уравнения системы (87), записанной в виде
a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 +… + a2n xn = b2
………………………………… (92)
an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn
относительно диагональных неизвестных
(93)
Или в матричном виде,
x = + x (94)
Выражения (93), (94) представляют систему уравнений, подготовленную к итерации, или развернутую запись рекуррентного соотношения (91).
Итерационный вычислительный процесс по схеме (93) вида х(к) = (х(к-1)) ведет к решению (88)
х*=lim х(к) ,
к
если выполняются условия сходимости итерации.
2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов
2.2.1 Теорема сходимости итерации
Итерационные процессы – это численные методы решения уравнений, и их эффективность зависит от числовой характеристики матриц коэффициентов системы уравнений. Обе числовые характеристики, упоминавшиеся в теореме о сходимости итераций, формулируют условия сходимости для матрицы системы, подготовленной к итерации, в виде (93), (94).
(95)
Для матрицы наибольшее по модулю собственное значение max<1, а норма = 1.
Зададимся начальным приближением х(0) и запишем следующие 4 приближения (для выявления общих закономерностей)
(96)
Подставим х(1), х(2), х(3) в выражение для х(4). Получим
(97)
Если итерационный процесс сходится, то x(k) будет представлять собой решение системы уравнений (87), записанное как предел сходящейся последовательности значений
(97,а)
- предел сходящейся последовательности матриц, т.е. матричного степенного ряда с основанием .
Вынесем за скобку в (97).
; (98)
или в общем случае для каждого приближения
(99)
В выражении (99) скобка представляет сумму членов матричного степенного ряда, с основанием []. Этот ряд сходится ,если его сумма имеет предел; и расходится, если выполняются условия (100) или (101)
необходимое и достаточное условие сходимости (100)
достаточное условие сходимости (101)
Тогда сумма членов матричного степенного ряда определится по аналогии с суммой членов геометрической прогрессии с основанием q < 1.
Для геометрической прогрессии с числовым основанием q:
к
Для степенного матричного ряда с основанием []:
(102)
Подставляя (102) в (99), получим
(103)
Здесь , при , или .
Тогда, домножая левую и правую части уравнения (103) на (Е - ) и учитывая, что limх(к) = х* (k ) получим
(104)
- неподвижная точка, последовательности, или решение системы уравнений.
Выражение (104) соответствует неподвижной точке последовательности, т.е. ее пределу, когда дальнейшего изменения значения x в ходе итерационного процесса не происходит.
Достаточное условие сходимости итерации (101) и следствие из теоремы о достаточных условиях сходимости итерации позволяют получить важные заключения о соотношении диагонального и суммы побочных элементов матрицы, которое необходимо для сходимости итерационного процесса при решении уравнений.
Матрица α системы уравнения, подготовленной к итерации, имеет вид:
(106)
Применительно к узловым уравнениям установившегося режима:
(107)
(108)
Матрица системы узловых уравнений, подготовленной к итерации, имеет вид
(109)
А достаточное условие сходимости по норме запишется
(109)
и должно выполняться для всех узлов сети i = 1,2,…,n.
Неравенство (109) выражает достаточное условие сходимости итерации для системы узловых уравнений:
для всех узлов сети собственная проводимость узла Yii должна быть больше суммы модулей взаимных проводимостей Yij. Это условие не выполняется.
Однако для тех узлов сложной схемы, которые связаны с балансирующим узлом, диагональный элемент матрицы Y, т.е. собственная проводимость узла , равен
, (110) благодаря чему для строк матрицы, которые имеют связь с балансирующим узлом
, (111) причем диагональный элемент матрицы больше суммы модулей побочных элементов именно на величину проводимости линии Yiб, которая связывает i‑й узел с балансирующим.
Благодаря выполнению соотношений (110), (111) выполняется необходимое и достаточное условие сходимости итерации (100), связанное не с нормой, а с собственными значениями , хотя достаточное условие сходимости по норме (101) и не выполняется.
Поэтому сходимость итерационного решения узловых уравнений имеет место, хотя и не обеспечена.