- •Методическое пособие к курсовой работе по дисциплине «Математические задачи энергетики»
- •Содержание
- •Уравнения установившихся режимов электрических систем
- •1.1 Понятие о режимах электрических систем и схемах замещения
- •1.2 Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричное выражение законов Кирхгофа
- •Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа
- •Вопросы для самопроверки:
- •1.2.2 Вторая матрица инциденций «ветви-контуры» и матричная запись второго закона Кирхгофа
- •1.2.3 Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа
- •1.3 Метод уравнений узловых напряжений
- •1.3.1 Вывод узловых уравнений
- •Здесь [м]т – транспонированная 1-я матрица инциденций,
- •1.3.2 Определение матрицы узловых проводимостей и ее характеристика
- •1.4 Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем
- •Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров.
- •Вопросы для самопроверки
- •1.6 Расчёт режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения
- •Расчётные токи в узлах сети можно определить как:
- •2. Методы решения уравнений установившихся режимов электрических систем
- •2.1 Итерационные методы решения систем уравнений
- •2.2 Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.1 Теорема сходимости итерации
- •2.2.2 Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов
- •2.2.3 Критерии и анализ сходимости итерации для нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов
- •2.3 Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами
- •2.3.1 Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов
- •2.3.2 Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ
- •2.4 Применение метода Ньютона для решения для нахождения корней уравнений установившихся режимов
- •2.4.1 Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения
- •2.4.2 Применение метода Ньютона для систем нелинейных уравнений
- •2.4.3 Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона.
- •III. Задание на курсовую работу
- •Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов)
- •Перечень графического материала (в виде компьютерных рисунков в формате а4)
- •IV. Примеры для выполнения разделов курсовой работы
- •С бу оставляем граф-схему замещения электрической сети и нумеруем её ветви и узлы (ребра и вершины) в соответствии с принципом ярусности:
- •Составление элементарных матриц параметров режима [pу], параметров сети [dZв],[dYв] и матриц соединений [м] и [n].
- •Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] и матрицы контурных сопротивлений [Zk]. Расчёт матрицы узловых проводимостей [Yy] (См) (без учёта балансирующего узла) производим по формуле:
- •Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям путем обращения матрицы узловых проводимостей
- •Расчет режима электрической сети на основе линейных контурных уравнений
- •Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.
- •Затем по выражению (8) проверяется точность вычислений:
- •Пример расчета:
- •Третья итерация:
- •Пример расчета:
- •В общем виде итерационный процесс можно записать в виде
- •Третья итерация:
- •Итерационный процесс закончен!
- •Заключение Литература
Решение нелинейных обращенных узловых уравнений с матрицей- методом простой итерации.
Задаются точностью расчета напряжений, выбирают начальные приближения напряжения во всех узлах (принимают равным номинальному , где k — номер итерации) и рассчитывают напряжения по выражению (7). Выражение (7) является развёрнутой формой представления системы нелинейных обращенных узловых уравнений (6), записанной применительно к решению методом простой итерации.
, (7)
где k – номер итерации (к = 0, 1, 2, 3, …).
Затем по выражению (8) проверяется точность вычислений:
, (8)
где - точность.
Если точность неудовлетворительна, то напряжение во всех узлах принимают равными и по выражению (7) определяют и опять проверяют точность и так до тех пор, пока точность не будет достигнута.
В результате решения системы узловых уравнений получаем вектор – столбец узловых напряжений:
(9)
Пример расчета:
1
4
VII
I
VI
3
IV
5
БУ
1
2
V
3
II
III
2
Система нелинейных узловых уравнений, подготовленная к простой итерации имеет вид
Зададимся начальным приближением:
(кВ)
Итерационный процесс будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие
,
примем =0.01 кВ.
Обратная матрица узловых проводимостей
Первая итерация:
(кВ)
Вторая итерация:
(кВ);
Третья итерация:
(кВ);
Итерационный процесс закончен !
Решение нелинейных обращенных узловых уравнений методом ускоренной итерации.
Этот метод нашёл применение в расчётах установившихся режимов электрических систем. Основное достоинство его в том, что он легко программируется на ПЭВМ, имеет быструю сходимость (если итерационный процесс сходится).
Для решения задачи методом ускоренной итерации систему уравнений (2) можно представить в развернутом виде следующим образом: (для четырех узлов)
. (10)
Точность проверяется как:
. (11)
Из системы уравнений (10) видно, что ускорение решения на каждом шаге достигается подстановкой в последующее уравнение значений узловых напряжений определённых уже в предыдущем уравнении системы.
Пример расчета:
1
4
VII
I
VI
3
IV
5
БУ
1
2
V
3
II
III
2
Воспользуемся узловыми уравнениями, записанными в виде (10):
Система уравнений подготовленных к итерационному процессу будет выглядеть так
В общем виде итерационный процесс можно записать в виде
Обратная матрица узловых проводимостей
Итерационный процесс будем вести до тех пор пока не будет выполнено условие
,
примем =0.01 кВ
Матрица задающих мощностей [Py] и вектор начальных приближений напряжений [U(0)]
(МВт); (кB).
(В)
Первая итерация:
(кB).
Вторая итерация:
(кВ);