3. Понятие экономико-математической модели. Этапы экономико-математического моделирования.

1. Конкретизация цели. В производственной коммерческой сфере цель обычно состоит в максимизации прибыли или минимизации затрат. В сфере некоммерческих услуг цель состоит в получении качественного обслуживания.

2. Построение математической модели.

- определение переменных моделей с их разделением на управляемые (которые можно изменить) и неуправляемые (которые неподвластны ЛПР)

- определение технологических параметров, технология описывается совокупность параметров, которые характеризуют предельные значения переменных и соотношения между ними.

- Построение целевой функции. Та цель, которая определена и конкретизирована представляется функцией, подлежащей максимизации или минимизации.

- Определение присущих систем, требований, условий и ограничений и их формальная запись.

f(х) → max (min)

3. Решение построения задачи оптимизации. На этом этапе задача относится к определенному классу и решается соответствующим методом. На этом этапе кроме нахождения оптимального решения по возможности должно быть обеспечено получение дополнительной информации и возможных изменениях решений при вариациях начальных условий. Эта часть складывается анализом на чувствительность и особенно важна в случаях, когда технологические параметры определены не вполне точно.

4. Проверка адекватности модели. Модель считается адекватной, если не смотря на некоторые неточности отображений оригинальна она способна обеспечить достаточно надежное предсказание поведений системы.

5. Реализация полученных результатов.

4. Задача о составлении производственной программы и ее экономическая модель.

Общая задача линейного программирования:

f (х₁, х₂…х_n) =

≤b_i , I =

_≥b_i ; i=

x_j ≥ 0, j=1,e

x_{j –} произв. знака.

j=e+1,n

Любой набор значений переменных называется планом в задаче линейного программирования.

План, удовлетворяющий всем ограничениям, называется допустимым планом.

Множество допустимых планов обуславливается Ώ омега

Допустимый план, доставляющий оптимизм целевой функции называется оптимальным планом.

Х*=(Х1*,Х2*…Хn*)

Значение целевой функции на оптимальном плане называется оптимальным планом.

f*=f(х*)

Решит задачу линейного программирования, значит найти оптимальный план и оптимальное значение или установить, что задача не имеет решения.

5

Задачи о составлении смеси

Исторически задача о составлении смеси (диеты, рациона) является одной

из первых ЗЛП. Ниже рассмотрено построение экономико-математических мо-

делей для нескольких задач, относящихся к данному классу [9, 16]. Цены, зара-

ботная плата и некоторые другие количественные величины, представленные в

задачах, которые приведены ниже, выбраны достаточно условно и не отражают

их нынешнего фактического состояния.

Задача № 1. Металлургическому комбинату требуется уголь с содер-

жанием фосфора не более 0,03 % и с долей зольных примесей не более 3,25 %.

Комбинат закупает три сорта угля, условно обозначенных A, B и С, с извест-

ным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать сорта угля

A, B и C, чтобы полученная смесь удовлетворяла ограничениям на содержание

примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена каждого сорта угля приведены в табл. 2.

Таблица 2

Содержание, %

Сорт угля Фосфора Золы

Цена

1 т, р.

A 0,06 2,0 30

B 0,04 4,0 30

C 0,02 3,0 45

Решение. Построим экономико-математическую модель задачи. Обозна-

чим x1 - количество угля сорта A в тонне смеси, x2 - количество угля сорта B в

тонне смеси, x3 - количество угля сорта С в тонне смеси.

Стоимость 1 т смеси (целевая функция) с учетом введенных обозначений

и данных графы «Цена 1 т, р.» запишется в следующем виде:

1 2 3 Z = 30x + 30x + 45x .

Ограничение на содержание фосфора в смеси запишется в виде

0,06 0,04 0,02 0,03 x

1 + x

2 + x

3 £ (%).

Ограничение на содержание зольных примесей в смеси запишется в виде

6

5.3 Задача о раскрое материалов.

Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких

техно­логически допустимых планов раскроя, при которых полу­чается

необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе

или стоимости) сводятся к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по

одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного

программирования.