- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 2
- •Лабораторная работа 3
- •Примеры решения задач
- •Задания лабораторной работы
- •Лабораторная работа 4
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 5
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 6
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 7
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач
- •Литература
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Лабораторная работа 2
Топология метрических пространств
Примеры решения задач
Задача 1 Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве . Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.
Пример 1 .
Решение. Множество не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, и для любого шара имеем , но , так как .
Множество является замкнутым, так как оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. Действительно, если в , , то и . А это значит, что .
Граница множества совпадает с самим множеством , что теперь сразу следует из формулы .
Множество не является ограниченным, так как последовательность ,
но .
Пример 2 .
Решение. Покажем, что является открытым. Возьмём , т.е. .
Тогда . Покажем, что шар . Возьмём .
Это значит, что . Тогда
.
Значит, .
Так как М открыто, то .
Множество М не является замкнутым, так как содержит не все свои предельные точки. Действительно, возьмём последовательность из М. Тогда , но , т.е. .
Замечание. Нормированное пространство X всегда связно, так как любые две его точки х и у можно связать непрерывным путем , лежащим в X, а потому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.
Замыкание . Действительно, если x0 принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда
.
Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к х0 равномерно (проверьте!), а потому х0 принадлежит .
Теперь ясно, что граница .
Наконец, не является ограниченным, так как , но .
Пример 3 .
Решение. Покажем, что М открыто. Возьмём . Тогда , а потому . Рассмотрим . Для любого имеем , а тогда .
Покажем, что замыкание множества М есть . Действительно, если x0 принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда . Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно на [a,b] (проверьте), а потому принадлежит .
Теперь ясно, что граница .
Очевидно, что данное множество ограничено.
Задача 2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .
Пример 1 .
Решение. Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои предельные точки. Действительно, если то (почему?). Но так как , то и . Значит, В.
Так как В замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание в решении примера 2 к задаче 1), но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка e1=(1,0,0,…) принадлежит В, но для любого точка , хотя и лежит в - окрестности точки .
Наконец, В ограничено, так как .
Пример 2 .
Решение. Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда , но , поскольку .
Множество В не замкнуто. Действительно, рассмотрим . Тогда сходится к точке , так как при , но .
Множество В ограничено, так как .
Пример 3 .
Решение. Покажем, что множество открыто. Возьмём . Найдется такое , что . Если (шар рассматривается, конечно, в ), то . Тогда и . Теперь в силу неравенства Минковского имеем
.
Значит, , т.е. . Итак, .
Так как В открыто, то В не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки где , очевидно, принадлежат В. В то же время, сходится в к .
Покажем, что не ограничено. Рассмотрим последовательность
.
Имеем , так как
,
но в то же время при .
Пример 4 .
Решение. Покажем, что не является открытым. Возьмём и . Найдётся такое натуральное , что . Тогда , но .
Множество В не является и замкнутым. Для доказательства рассмотрим последовательность . Она сходится к точке , которая не принадлежит В, так как .
Множество В ограничено, поскольку неравенство влечет
.
Задания лабораторной работы
Задача 1 Является ли данное множество М открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.
№ |
М |
№ |
М |
1.1 |
|
1.4 |
|
1.2 |
|
1.5 |
|
1.3 |
|
1.6 |
|
Задача 2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .
№ |
|
А |
№ |
|
А |
2.1 |
1 |
|
2.4 |
|
|
2.2 |
2 |
|
2.5 |
3/2 |
|
2.3 |
2 |
|
2.6 |
2 |
|