Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лаб работы ФАН 5сем.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.11.2019

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Лабораторная работа 6

Сжимающие отображения

Примеры решения задач

Задача 1 Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим?

Найти х₃, где х_к+1= F(х_к), х₀ = 0. Оценить расстояние от х₃ до неподвижной

точки, если F является сжимающим.

Пример 1 .

Решение. Оценим расстояние в

(мы воспользовались неравенством ). Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица .

Построим последовательность . По условию поэтому

. А так как

где - неподвижная точка, то

Пример 2

Решение. Оценим расстояние в

Значит, f – сжимающее отображение с константой

По условию, . Тогда , , а потому

(на самом деле, как легко проверить, является неподвижной точкой).

Пример 3 .

Решение. Допустим, что отображение F является сжимающим, т.е.

При y=0 из этого неравенства следует, что

. (1)

Подставив в левую часть неравенства (1), получим

при

(мы воспользовались эквивалентностью при ).

Правая же часть неравенства (1), как легко проверить, при этом значении х равна . Следовательно, неравенство (1) при указанных и примет вид: противоречие. Значит, F не является сжимающим. (Аналогичное решение получается и при ).

Задача 2 Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному

уравнению в пространстве Х при При с точностью до

0,01 найти приближенное решение и сравнить его с точным решением.

(1)

Решение. Определим отображение по формуле

(2)

Тогда исходное уравнение запишется в виде и искомое решение есть неподвижная точка отображения . Метрическое пространство C[0;1] является полным, поэтому если мы покажем, что – сжимающее отображение C[0;1] в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений. То, что отображение непрерывную на функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра). Определим, при каких отображение является сжимающим. Известно, что отображение

(3)

является сжимающим в C[a;b], если где . При этом константа Липшица . (Заметим, что это утверждение дает лишь достаточное условие сжимаемости). В данном случае , . Следовательно, является сжимающим при т.е., в частности, при и .

Докажем, что не является сжимающим при . Если допустить, что – сжимающее, то для и некоторого должно выполняться неравенство

При , последнее неравенство примет вид . А так как ,

То получаем, что , откуда в пределе . Это противоречие доказывает, что не является сжимающим при .

Решим уравнение (1) при . При этом отображение - сжимающее, а потому для нахождения приближённого решения можно воспользоваться методом итераций (последовательных приближений). Из уравнения (1) следует, что его решение имеет вид

где (4)

Поскольку выбирается произвольно, возьмём . Дальнейшие приближения находятся по формулам , .

Установим номер k, при котором элемент будет давать точность приближения 0,01. Используем оценку погрешности (х - точное решение)

В нашем случае . Тогда

Следовательно,

А потому искомое k определяется из неравенства: . Поскольку k=3 ему удовлетворяет, будет приближенным решением исходного уравнения с точностью 0,01. Найдём :

Итак, приближённое решение с нужной точностью есть

Точное решение имеет вид (см. формулу (4)). Подставив в (1), получим:

. Отсюда , . Следовательно, точное решение есть

Сравним его с приближённым:

Замечание. Первую часть решения можно сократить, если воспользоваться тем фактом, что норма линейного оператора

в пространстве C[0;1] дается формулой

Поскольку норма есть точная константа в неравенстве ограниченности, отображение А₁ является сжимающим тогда и только тогда, когда То же верно и для отображения (почему?).