- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 2
- •Лабораторная работа 3
- •Примеры решения задач
- •Задания лабораторной работы
- •Лабораторная работа 4
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 5
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 6
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 7
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач
- •Литература
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Лабораторная работа 3
Полнота метрических пространств
Примеры решения задач
Задача 1 Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.
Пример 1 , ,
где K – канторово множество.
Решение. Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и - множество меры нуль. Значит, п.в.
Покажем, что сходится к 0 в . Для этого рассмотрим
и воспользуемся разложением по формуле Тейлора:
при .
Получаем:
при .
Тот же результат мы получим, применив теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Итак, сходится к 0, а потому она фундаментальна.
Пример 2 , ,
Решение. Так как - множество меры нуль, то п.в. на [0;1]. Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве:
(мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой , но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно).
Задача 2 Является ли метрическое пространство полным?
Пример 1 Х=B[0,1] пространство вещественнозначных ограниченных функций на [0,1], наделенное метрикой
.
Решение. Покажем, что любая фундаментальная последовательность ( ) в B[0,1] является сходящейся. Ее фундаментальность значит, что : выполняется неравенство
(1)
Зафиксируем произвольное число . Тогда числовая последовательность ( ) в силу (1) является фундаментальной в R. По причине полноты пространства R последовательность сходится. Положим , t [0,1]. Тем самым на [0;1] определена функция , к которой сходится поточечно. Осталось доказать, что
1) и 2) при .
С этой целью перейдем в (1) (а точнее, в неравенстве , справедливом при всех t из [0,1]) к пределу при . Получим, что
(2)
В частности, при выполняется оценка:
,
из которой следует ограниченность . Следовательно, . Наконец, формула (2) означает, что . Поэтому при .
.
Пример 2 ( ) – пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию: , где , ) заданная числовая последовательность; .
Решение. Покажем, что данное пространство полно. Пусть ( ) - фундаментальная последовательность в . Это значит, что
: . (1)
Тогда для любого фиксированного имеем , т. е. . Следовательно, для любого фиксированного числовая последовательность является фундаментальной, а потому сходится. Обозначим и положим . Осталось показать, что
1) и
2) при .
Из (1) следует, что любого фиксированного , что в пределе при дает . Переходя теперь к пределу при , получим , т.е.
: (2)
Возьмем какие-нибудь и и обозначим
.
Вследствие неравенства Минковского имеем
,
а это значит, что . Теперь (2) показывает, что при , а потому ( ) сходится в нашем пространстве к .
Пример 3 Х= множество непрерывно дифференцируемых на [-1,1] функций с метрикой .
Решение. Рассмотрим последовательность и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве. Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции \ Х., где
.
А так как , то по теореме Лебега при . Это означает, что в пространстве последовательность сходится к . Следовательно, она фундаментальна в Х. С другой стороны, если предположить, что последовательность сходится в данном пространстве Х к некоторой функции , то получим, что имеет два предела в и , противоречие. Итак, данное пространство не является полным.