III. Напряжения в поперечных сечениях стержней с прямой осью

Рассматриваются случаи линейно-упругих стержней при весьма малых деформациях, когда перемещения точек оси стержня значительно меньше высоты поперечного сечения. При выводе формул для определения напряжений принимается гипотеза плоских сечений и предполагается, что нормальные напряжения в продольных сечениях пренебрежительно малы по сравнению с напряжениями в поперечном сечении _х = 0, _у = 0.

Для вычисления нормальных напряжений в поперечных сечениях прямых стержней применяют формулу:

_z = + y- x, (7)

где _z – нормальные напряжения в точке поперечного сечения с координатами x и y,

N – продольная (нормальная) сила в рассматриваемом сечении,

М_х, М_у – изгибающие моменты в том же сечении,

F – площадь поперечного сечения,

J_x,_, J_y – осевые моменты инерции поперечного сечения относительно его главных центральных осей инерции Х и У.

В частных случаях нагружения для вычисления нормальных напряжений используются соответствующие слагаемые формулы.

1. Растяжение-сжатие N  0, М_х = М_у = 0.

_z =

Нормальные напряжения не зависят от координат точек поперечного сечения, т.е. все точки сечения равноопасны.

2. Прямой изгиб М_х  0, N = 0, М_у = 0.

_z = y.

В точках сечения, лежащих на оси Х, напряжения равны нулю, т.е. ось Х в данном случае будет являться нулевой линией. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии с ординатой y_max.

_zmax = y_max= ,

где W_x = – осевой момент сопротивления.

2. Косой изгиб М_х  0, М_у  0, N = 0.

_z = y - x.

Уравнение нулевой линии при косом изгибе

y₀ = x₀,

где x_о, y_о – координаты точек, лежащих на нулевой линии в системе главных центральных осей.

Следовательно, нулевая линия при косом изгибе всегда проходит через начало координат (центр тяжести сечения). Наибольшие напряжения будут возникать в точках наиболее удаленных от нулевой линии.

2. Внецентренное растяжение-сжатие

В этом случае все три интегральные характеристики отличны от нуля N  0, М_х  0, М_у  0.

_z = + y - x.

Уравнение нулевой линии:

y_о = x₀ -  .

В этом случае нулевая линия не проходит через начало координат.

5. Поперечный изгиб

Поперечным изгибом называется такой вид нагружения стержня, когда в поперечном сечении одновременно М_х  0, Q_y  0.

Нормальные напряжения в точках поперечного сечения определяют по той же формуле, что и при чистом изгибе.

_z = y,

а касательные напряжения можно вычислять по формуле Журавского:

_zy = , (8)

где Q_y – значение поперечной силы в сечении,

J_x – главный центральный момент поперечного сечения стержня,

S - статический момент отсеченной части поперечного сечения,

b(y) – ширина поперечного сечения в том месте, где вычисляется касательное напряжение.

Для того чтобы найти S , необходимо через точку, где нужно вычислить _zy, провести прямую, параллельную главной центральной оси Х, и найти статический момент части сечения, лежащей выше или ниже этой линии. Например, для сечения (рис. 9) необходимо найти касательные напряжения в т.А. Линия, проведенная через эту точку, рассекает сечение на две части F_отс’ и F_отс”. Точки 1 и 2 соответственно центры тяжести этих площадей. Тогда

S

F_отс’

= F_отс’Y₁ = F_отс”Y₂

Y

X

b(y)

A

y₁

F_отс”

y₂

Рис. 9

6. Кручение

Кручением называется такой вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент М_к  0.

Касательные напряжения, возникающие в точке поперечного сечения с радиус-вектором , определяются по следующей формуле:

 = , (9)

где J_ - полярный момент инерции поперечного сечения.

Эта формула справедлива только для стержней круглого поперечного сечения, так как только в этом случае применима гипотеза плоских сечений.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках контура.

 = ,

где W_ = - полярный момент сопротивления.

Для круга J_ = d⁴/32 = 0,1d⁴,

W_ = d³/16 = 0,2d³.

Напряженное состояние в точке деформируемого тела

Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется совокупностью напряжений на всех возможных площадках, проходящих через данную точку.

Достаточно знать напряжения на трех взаимно-перпендикулярных площадках, чтобы вычислить напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку. Совокупность напряжений на трех координатных площадках называется тензором напряжений.

T_=

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями, нумеруются в порядке убывания _{1 } _{2 } ₃ и находятся из кубического уравнения:

³ - J₁² + J₂ - J₃ = 0, (10)

где J₁ = _x + _y + _z,

J₂ = _x_y + _x_z + _z_y - _xy² - _xz² - _zy²,

J₃ = _x_y_z - _x_zy² - _y_zx² - _z_xy² + 2_xy_zy_xz.

Положение главных площадок задается направляющими косинусами

l_i = cos(x,_i), m_i = cos(y,_i), n_i = cos(z,_i) нормалей _i главных площадок

(i = 1, 2, 3). Для нахождения их величин используют два уравнения из системы

(_x-_i)l_i + _xym_i + _xzn_i = 0,

_yxl_i + (_y-_i)m_i + _yzn_i = 0,

_zxl_i + _zym_i + (_z-_i)n_i = 0,

к которым следует присоединить дополнительное условие

l_i² + m_i² + n_i² = 1.

Здесь _i - одно из трех главных напряжений. Различают следующие виды напряженных состояний: одноосное, двухосное и трехосное в зависимости от числа корней характеристического уравнения.

Наибольшие касательные напряжения возникают на площадках, равно наклоненных к первой и третьей главным площадкам, и равны

_max = .

Рассмотрим теперь напряженное состояние в опасных точках стержня.

При поперечном изгибе в опасной точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения, вызванные поперечной силой.

При изгибе с кручением возникают нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения. В силу принятых гипотез в продольных сечениях стержня нормальные напряжения _у и _х равны нулю.

y

_zx

_xz

z _z

Рис.10

Если в окрестностях опасной точки радиальным, тангенциальным и поперечным сечениями выделить бесконечно малый элемент, то на гранях его будут возникать только напряжения, показанные на рис.10. Заштрихованная грань элемента совпадает с поперечным сечением. Инварианты напряженного состояния будут

J₁ = _z; J₂ = -_zx²; J₃ = 0.

Следовательно, напряженное состояние будет двухосным и характеристическое уравнение примет вид

(²-J₁+J₂) = 0.

Один корень этого уравнения будет нулевой, т.е. одно главное напряжение равно нулю и два других определяются из квадратного уравнения и равны

 = .

Таким образом, главные напряжения в стержне будут равны

₁ = , ₃ = .

Из рисунка 10 видно, что на площадке перпендикулярной оси Y отсутствуют касательные и нормальные напряжения, т.е. вторая главная площадка ₂ = 0 и направляющие косинусы нормали к этой площадке будут l₂ = 0, m₂ = 1, n₂ = 0.

Поскольку главные площадки взаимно перпендикулярны, то первая и третья главные площадки будут параллельны оси Y.

Следовательно,

m₁ = m₃ = 0 и нормали ₁ и ₂ будут параллельны плоскости XZ.

Для нахождения направляющих косинусов в этом случае можно воспользоваться каким-либо одним из уравнений. Найдем положение первой главной площадки. Для этого используем первое уравнение системы

(0-₁)l₁ + 0 + _zxn₁ = 0.

Если обозначить через ₁ угол между нормалью ₁ и осью Х, то получим l₁ = cos₁, n₁ = sin₁ и

-₁cos₁ + _zxsin₁ = 0.

Откуда tg₁ = ₁/_zx.

Из того же уравнения можно найти и положение третьей главной площадки

(0-₃)l₃ + _zxn₃ = 0.

Обозначив через точку  угол между нормалью и третьей главной площадкой и осью Х, получим

-₃cos  + _zxsin  = 0,

tg = ₃/_zx = ₃/_zx.

Положительные углы  и  откладывать против часовой стрелки от оси Х.