Решение

Построение эпюр начнем с рассмотрения сил, действующих в вертикальной плоскости

Q_y(z) = Q_y(0) + P₂,

M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)  z + P₂  (z – l).

Граничные условия

Q_y(0) = -P₁, M_x(0) = 0.

Окончательно получаем:

Q_y(z) = -6 + 10 , M_x(z) = - 6  z + 10  (z – 1).

Под действием сил, действующих в горизонтальной плоскости:

Q_x(z) = Q_x(0) + q  z – q  (z – 1,5l),

M_y(z) = M_y(0) - Q_x(0)  z - q  z²/2 + q  (z – 1,5l)²/2.

Соответствующие граничные условия:

Q_x(0) = 0, M_y(0) = 0.

Окончательно получаем:

Q_x(z) = 4  z – 4  (z – 1,5),

M_y(z) = - 4  z²/2 + 4  (z – 1,5)²/2.

Уравнение крутящих моментов:

M_к(z) = L = 5 кНм.

Вычисляя значение функций на границах участков, строим их эпюры (рис. 27 )

P₁

L

P₂

P_x

q

P_x

L

0,5l

l

4

6

Q_y(z)

0

4

6

M_x(z)

4

4

0

Q_x(z)

0

2

4

M_y(z)

5

M_k(z)

Рис. 27

Для того чтобы, произвести расчет на прочность, выберем опасное сечение стержня. Поскольку крутящий момент не меняется по длине стержня, то положение опасного сечения определяется величиной

М_изг = .

Сечение А:

М_х = 6 кНм, М_у = 2 кНм, М_изг = = 6,3 кНм.

Сечение В:

М_х = 4 кНм, М_у = 4 кНм, М_изг = = 5,7 кНм.

Опасным будет сечение В.

Поскольку в опасной точке стержня будет двухосное напряженное состояние, то условие прочности запишем в виде

_экв  [].

По теории наибольших касательных напряжений

_экв = ₁ - ₃.

В опасной точке поперечного сечения

_{z max} = = ,

 = = .

Главные напряжения в этой точке

₁ = , ₃ = .

₂ = 0.

Тогда

_экв = =  [].

Откуда

d  = = 0,0795 м = 79,5 мм.

Из нормального ряда диаметров выбираем D=80 мм.

Приложения к расчетно-графическим работам

Задача № 1

Для прямого стержня, нагруженного осевыми продольными нагрузками (схемы нагружения № 1 или № 2), необходимо:

1. Записать выражение продольной силы N(z) и построить ее график.

2. Определить размер квадратного поперечного сечения из расчета на прочность, округлив его до ближайшего из нормального ряда.

3. Для стержня выбранного размера вычислить нормальные напряжения в опасном сечении.

4. Определить наибольшее касательное напряжение в этом стержне и указать, в каком сечении оно действует, найти нормальное напряжение в этом сечении.

5. Вычислить главные линейные деформации в точках опасного поперечного сечения.

6. Найти размеры этого сечения после деформации.

Численные значения выбрать из таблицы под схемой нагружения по указанной строке варианта.

Схема нагружения № 1

P₁

q

P₂

a

a

b

c

a

d

l

№ вар.	l [м]	a [м]	b [м]	c [м]	d [м]	P1 [кН]	P2 [кН]	q [кН/м]	[σ] [МПа]
1	2,1	0	0,6	0,1	1,8	20	7	-66	108
2	2,5	0	0,4	0,4	1,4	46	-2	85	102
3	2,4	0,2	0,8	0	1,2	50	-90	69	115
4	2,5	0	0,4	0,2	1,8	51	80	-40	120
5	2,2	0	1,4	0,6	2	10	-49	62	122
6	2	1,6	1,4	0	1	-25	-19	61	119
7	2	1,0	1,6	0	1,2	51	-91	59	159
8	2,5	0	1,8	1	1,4	-45	15	51	134
9	2,4	0,6	1,6	0	1,2	-28	14	61	103
10	2,5	0	2,1	1	2,6	-79	62	81	105
11	2,5	1,5	1,3	0	0,9	-57	-33	69	154
12	2,1	0	1,4	1	1,9	-52	30	59	126
13	2,5	0	1,2	1	2	19	-59	98	104
14	2,4	0,5	1,1	0	0,9	-48	27	83	138
15	2,4	0	1,4	0,8	2,2	19	-68	74	124
16	2,4	0,6	1,3	0	1,6	22	-77	92	121
17	2,2	0,9	1,8	0	1,2	42	23	-72	120
18	2,3	0	1,7	0,9	1,9	15	-49	90	170
19	2,1	0,6	1,4	0	1,9	25	-85	63	114
20	2,5	0	1,6	1,1	2,5	1	40	-53	109
21	2,3	0,7	0	0,4	2,3	-65	-18	80	102
22	2,2	0	0,5	1	2	5	-96	89	165
23	2,5	0,8	2,2	0	2,1	-59	12	68	138
24	2,1	0	0,7	1,3	1,8	-62	40	57	164
25	2,3	0,9	0,3	0	1,8	-79	26	79	183
26	2,3	0	0,9	1,5	2,3	-50	-30	64	109
27	2,5	0,5	2,2	0	1,4	-58	36	70	165
28	2,2	0	16	0,2	2,1	90	-50	96	198
29	2	0,9	1,6	0	1,1	-40	72	-82	191
30	2	0	0,9	0,3	1,5	18	-67	63	177

Схема нагружения № 2

P₁

P₂

q

a

a

b

c

a

d

l

№ вар.	l [м]	a [м]	b [м]	c [м]	d [м]	P1 [кН]	P2 [кН]	q [кН/м]	[σ] [МПа]
1	2,3	0,2	0,8	0,9	1,9	-20	-70	53	104
2	2,4	0,2	1,4	0	2,4	16	29	54	112
3	2,2	0,5	1	0,2	1,9	-51	19	62	116
4	2,2	0,6	0,8	0,3	1,4	-53	18	58	123
5	2,1	0,7	1,8	0,2	1,3	-15	49	-56	107
6	2,2	0,5	1	0,5	1,9	17	-17	65	117
7	2,1	0,9	2,1	0	1,8	2,5	-6,9	62	110
8	2,3	0,6	1,8	0,3	2	-59	19	61	130
9	2,2	1	1,3	0,4	1,9	-20	6,4	-62	114
10	2,4	2,4	1	0,8	2	-2,7	1,6	57	100
11	2,3	0,5	2,3	0	1,4	-50	30	55	144
12	2,2	0,7	1,8	0,4	1,4	51	38	-54	146
13	2,4	0,9	1,3	0,8	1,7	1,9	-52	63	134
14	2,1	0,9	2,1	0,2	1,3	-40	27	58	140
15	2,4	0,3	0,9	0,4	2,4	91	-16	-64	139
16	2,3	0,4	1,6	1	2,3	-62	17	81	131
17	2,3	0,3	1,1	1,3	2,3	26	-62	91	116
18	2,4	0,6	1,3	0	1,6	59	-19	-76	113
19	2,3	0,9	2,3	1	1,8	-56	18	76	148
20	2,1	0,6	0,8	0	2,1	-19	-47	-73	152
21	2,2	0,8	2,2	0,7	1,5	-60	18	66	105
22	2,2	1	2,2	1	1,8	15	-19	59	154
23	2,2	0,8	2,1	0,2	1,7	-52	2,1	92	151
24	2,3	0,4	1,7	1,4	2,3	-20	49	-85	136
25	2,4	0,7	2,4	0,6	1,3	-27	16	95	176
26	2,2	0,4	1,3	0	1,8	-50	-30	68	165
27	2,4	0,4	2,1	0,1	1,6	-53	39	82	140
28	2,2	0,4	0,9	1,5	2,2	19	-1,5	-55	190
29	2,3	0,7	1,9	0,5	1,2	-42	27	57	141
30	2,1	1	1,6	1	2,1	31	-66	-96	196