Решение

Приведем силу Р к оси стержня АВ и построим эпюры внутренних сил. При параллельном переносе силы Р из точки С в точку В она приведется к силе Р и паре сил L = Pl.

Уравнения внутренних сил

N(z) = N(0); Q_y(z) = Q_y(0); M_x(z) = M_x(0) + Q_y(0)z.

Граничные условия

N(0) = 0; M_x(0) = 0; M_x(4l) = L ,

откуда Q_y(0) = L/4l = P/4.

Окончательно получаем

N(z) = P; Q_y(z) = P/4; M_x(z) = Pz/4.

Эпюры внутренних сил приведены на рис.20.

Р

4l

50

N(z)

12,5

Q_y(z)

10

0

M_x(z)

Рис. 20

Таким образом, для стержня АВ вид нагружения будет – растяжение с изгибом. И нормальные напряжения в точках поперечного сечения можно найти по формуле

_z = + y

Вычислим необходимые геометрические характеристики поперечного сечения стержня АВ (рис.21)

Y=Y_c

I

1

y₀

X₁

C₁

X₄

a₁

II

C

a₂

y₁

X₂

C₂

a₃

III

y₂

C₃

X₃

X

y₃

2

Р

X_c

ис. 21

Сложную фигуру можно представить как составленную из более простых фигур: прямоугольник и два полукруга, для которых известны площади положения центров тяжести и моменты инерции относительно своих центральных осей.

Предварительно определим геометрические характеристики каждой фигуры:

1 фигура – полукруг радиусом r.

Площадь фигуры F₁ = r²/2; осевые центральные моменты инерции J_x1 = 0,112⁴; J_y = r⁴/8, расстояние до центра тяжести У₀ = 4r/3.

2 фигура – прямоугольник с основанием b = 2r и высотой h = 4r.

Площадь фигуры F₂ = bh = 8r².

Центральные осевые моменты инерции

J_x2 = bh³/12 = 2r(4r)³/12 = 10,7r⁴; J_y = hb³/12 = 2,67r⁴.

3 фигура – полукруг радиусом r имеет те же характеристики, что и фигура 1.

Площадь поперечного сечения стержня

F = F_i = F₁ + F₂ - F₃ = F₂ = 8r².

Для определения положения центра тяжести сечения выберем вспомогательные оси ХУ. Ось У является осью симметрии фигуры, и поэтому она будет центральной, а центр тяжести фигуры находится на этой же оси, т.е. абсцисса x_с = 0. Ординату центра тяжести найдем по формуле

y_c = S_xi/F_i = (S + S + S )/F = (F₁y₁ + F₂y₂ + F₃y₃)/F,

где y₁, y₂, y₃ – ординаты центров тяжести отдельных фигур относительно оси Х.

Соответственно

y₁ = 4r + 4r/3; y₂ = 2r; y₃ = 4r/3.

Теперь

y_c = (r²/2)  (4r + 4r/3) + 8r²  2r - (r²/2)  4r/3 = 2,8r.

Проведем через точку С ось Х_с, перпендикулярную оси У_с.

Эта ось будет являться не только центральной, но и главной, опять в силу того, что ось Y является осью симметрии. Таким образом, оси Х_сY_c есть главные центральные оси сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения, используя формулы параллельного переноса осей.

Предварительно найдем расстояния между осью Х_с и центральными осями отдельных фигур

a₁ = y₁ - y_c = 4r + 4r/3 - 2,8r = 1,3r;

a₂ = -(y_c - y₂) = -(2,8r - 2r) = -0,8r;

a₃ = -(y_c - y₃) = -(2,8r - 4r/3) = -2,38r.

Используя формулы параллельного переноса осей, получаем

J_xc = J + J + J = (J_x1 + a F₁) + ( J_x2 + a F₂) - (J_x3 + a F₃) =

= 0,11r⁴ + (1,3)²  r²/2 + 10,7r⁴ + (0,8r)²  8r² - 0,11r⁴ - (2,38r)²  r²/2 =

= 9,36r⁴ = 9,36 cм⁴.

Наибольшие параллельные напряжения будут возникать в поперечном сечении стержня В на правой опоре, где

N=P=50 кН, М_х=Pl=10кНм.

Вычислим напряжения в крайних точках этого сечения.

Крайняя верхняя точка 1: y = 2,2 см.

_z(1) = 50/8  10⁴ + 50  0,2/9,36  2,2  10⁶ = 2413 МПа.

Крайняя нижняя точка 2: y = -2,8 см.

_z(2) = 50/8  10⁴ + 50  0,2/9,36  (-2,8)  10⁶ = -2929 МПа.

В обеих точках _z  , следовательно, условия прочности не выполняются.

П р и м е р 5. Проверить прочность балки (рис.21), нагруженной поперечными нагрузками, действующими в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Стержень изготовлен из швеллера №16 и равнополочного уголка №10с жестко соединенных между собой по всей длине.

Исходные данные: q = 5 кН/м, l = 0,6 м, Р_х = Р_у = Р = ql = 3 кН,

L = ql² = 1,8 кНм,  = 160 МПа.

q

P_y

L

P_x

l

l

l

Рис. 22