Расчет структурных плит методом перемещений Матрица жесткости элемента конструкции
4.6. Матрицей жесткости определяется связь между узловыми перемещениями и узловыми усилиями элемента, т. е. определяются его упругие свойства. Для каждого узлового перемещения вводится соответствующее узловое усилие. Совокупность этих усилий характеризует влияние смежных элементов конструкции на рассматриваемый элемент.
Между узловыми усилиями и узловыми перемещениями элемента существует определенная связь
|
(4.1) |
где 
-
вектор-столбец узловых усилий; r -
матрица жесткости стержня; 
-
вектор-столбец узловых перемещений.
Рис. 4.1. К построению матрицы жесткости стержня по недеформированной схеме
Ниже приводится определение матрицы жесткости для стержня с шарнирным присоединением к узлам конструкции по недеформированной схеме. Стержень ab ориентирован относительно неподвижной прямоугольной системы координат (рис. 4.1). Соотношение (4.1) для данного стержня может быть записано в следующей форме:
|
(4.2) |
где
|
- векторы обобщенных усилий в узлах а и b понаправлениям координатных осей;
|
|
- соответственно векторы обобщенных перемещений узлов а и b направлениям координатных осей; |
rаа, rаb и т.д. - квадратные подматрицы размерностью 3×3 реакций в узле с номером, помеченным первым индексом от единичных перемещений узла с номером, помеченным вторым индексом.
В линейной постановке задачи
|
(4.3) |
raa = rbb = -rab, |
(4.4) |
где nх, ny, nz - направляющие косинусы стержня; l - длина стержня; Dn - жесткость стержня на действие продольной силы.
При центральном приложении продольные силы в упругой стадии работы Dn = EA.
Общая матрица жесткости конструкции
4.8. Общая матрица жесткости выражается через матрицы жесткости отдельных элементов и устанавливает связь между узловыми перемещениями конструкции в целом и внешней нагрузкой.
Нагрузка на конструкцию прикладывается в узловых точках
Каждая
из сил 
имеет
столько же компонент, сколько и
рассматриваемые реакции элемента. При
шарнирном соединении узлов конструкции
Для удовлетворения условиям равновесия в произвольной узловой точке i каждая из компонент должна быть приравнена сумме компонент сил от всех элементов, соединяющихся в этом узле.
При количестве узлов конструкции, равном k
|
(4.5) |
В правой части уравнения (4.5) отличные от нуля силы будут давать только элементы, содержащие точку i.
Согласно соотношению (4.2) вектор обобщенных усилий в узле i для элемента с номерами узлов i jравен
|
(4.6) |
С учетом (4.6) соотношение (4.5) запишется в форме
|
(4.7) |
И здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся в узле i.
Объединяя эти уравнения, получаем матричное уравнение равновесия метода перемещений в общей системе координат
|
(4.8) |
где R - общая матрица жесткости для всей конструкции:
|
(4.9) |
Элементы этой матрицы представляют собой квадратные подматрицы и, за исключением диагональных, определяются зависимостью (4.3). Диагональные элементы при учете соотношения (4.4) определяются зависимостью
|
(4.10) |
4.9. Решение системы уравнений равновесия (4.8) возможно лишь при наложении па конструкцию необходимого числа связей, исключающих ее перемещение в пространстве. В этом случае решение может быть получено путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов матрицы.
По найденным из решения системы уравнений равновесия (4.8) перемещениям определяются усилия в элементах по формуле
|
(4.11) |
