Использование сложной основной системы

4.19. Результаты расчета стержневых систем методом перемещений включают в себя перемещения всех узлов конструкции и реакции в опорных узлах от любого вида нагружения. Это позволяет расширить класс решаемых задач, используя расчет структурных плит по разработанным программам и включая их в состав более сложных систем как элементы с известными жесткостыми характеристиками. В этом случае системы в целом могут рассчитываться либо методом сил, либо методом перемещений.

Применение метода сил при сложной основной системе

4.20. Условием применимости метода сил является геометрическая неизменяемость каждого из блоков, входящих в состав основной системы.

Система канонических уравнений метода сил для сложной основной системы имеет вид

или

(4.31)

где В - матрица податливости. Элементы этой матрицы - перемещения от единичных сил. Так, i-тым столбцом являются перемещения в точках 1, 2, …, n от единичного неизвестного, приложенного в точкеi;   - вектор-столбец неизвестных метода сил, приложенных в точках 1, 2,..., n;   - вектор-столбец перемещений в данных точках от заданных нагрузок.

Коэффициенты матрицы податливости В и элементы правого столбца определяются расчетом основной системы на действие единичных и грузовых сил. Структурные плиты, входящие в состав основной системы, рассчитываются на ЭВМ по существующим программам, другие элементы - соответствующими методами строительной механики и теории упругости.

Неизвестные, полученные в результате решения системы канонических уравнений (4.31) и приложенные к основной системе метода сил, обеспечивают при заданной нагрузке выполнение условий неразрывности деформаций. Усилия в элементах конструкции определяются расчетом основной системы на совместное действие нагрузки и найденных неизвестных.

В п.п. 4.25 - 4.30 показано применение метода сил при расчете предварительно напряженных структурных конструкций.

Применение метода перемещений при сложной основной системе

4.21. Основная система метода перемещений образуется наложением фиктивных связей в узлах соединения блоков между собой.

Система канонических уравнений метода перемещений для сложной основной системы имеет вид

(4.32)

или  .

где R - матрица реакций в фиктивных связях в узлах соединения блоков между собой от единичных перемещений по направлениям отброшенных связей;   - вектор-столбец неизвестных перемещений

узлов соединения блоков между собой; F - вектор-столбец реакций в фиктивных связях от внешней нагрузки. При шарнирном соединении блоков между собой элементы этой матрицы представляют собой квадратные подматрицы размером 3×3

Элементы этой подматрицы - реакции в узле i по направлениям координатных осей х, у и z от единичных перемещений узла j по тем же направлениям.

Коэффициенты матрицы реакций R и элементы правого столбца определяются расчетом каждого из блоков па действие единичных перемещений по направлениям отброшенных связей и на действие внешней нагрузки либо на ЭВМ по существующим программам, либо соответствующими методами теории упругости и строительной механики.

Решая полученную систему уравнений равновесия, получаем перемещения узлов соединения блоков между собой. Окончательно напряженное состояние каждого из блоков определяется расчетом на совместное действие внешней нагрузки, приложенной к данному блоку и найденных перемещений его узлов.

Ниже приводится пример использования этого метода при расчете каркаса здания, изображенного на рис. 4.6, покрытие которого состоит из 4 структурных плит, опертых на колонны в уровне верхних поясов. Опирание структур на колонны шарнирно-неподвижное. В общем случае размеры структурных плит и жесткости колонн могут быть различны. Система в целом находится под воздействием горизонтальных и вертикальных нагрузок, неравномерно распределенных между элементами каркаса.

На рис. 4.6 показана нумерация узлов соединения элементов каркаса между собой, обеспечивающая минимальную ширину ленты системы канонических уравнений. Основная система образуется наложением фиктивных связей в этих узлах по направлениям координатных осей в выбранной системе отсчета. Для удобства введем также нумерацию структурных плит (па рис. 4.6 она показана римскими цифрами). Номерам колонн присвоим номера узлов опирания на них структурных плит. На рис. 4.7 представлено матричное уравнение метода перемещений для данной системы. Рассмотрим процесс формирования матрицы реакций и правых частей этого уравнения.

Рис. 4.6. К примеру расчета каркаса здания

Рис. 4.7. Система уравнений равновесия для каркаса здания, изображенного на рис. 4.6

Поскольку матрица симметрична, находим значение коэффициентов, расположенных по одну сторону от главной диагонали. Производится расчет структурных плит на ЭВМ и расчет колонн обычными методами строительной механики на внешние нагрузки при наложении фиктивных связей и на единичные перемещения по направлениям отброшенных связей.

Расчетом структурной плиты I при несменяемых опорных узлах 1, 4 и 5 на единичные перемещения узла 1 по направлениям координатных осей х, у и z определяются коэффициенты подматриц первой блочной строки, за исключением диагональных: r₁₂, r₁₄, r₁₅.

Расчетом данной плиты при несмещаемых узлах 1, 4, и 5 на единичные смещения узла 2 определяются коэффициенты подматриц r^I₂₄ и r^I₂₅.

Расчетом структурной плиты II при несмещаемых узлах 3, 5 и 6 на единичные перемещения узла 2определяются коэффициенты подматриц r₂₃, r^II₂₅ и r₂₆.

Коэффициенты подматриц с номерами узлов, расположенных на гранях двух смежных плит, определяются суммированием подматриц, полученных на ЭВМ для каждого из блоков в отдельности, например

r₂₅ = r^I₂₅ + r^II₂₅.

Таким образом найдены коэффициенты второй блочной строки, за исключением диагональных. Аналогично находятся остальные коэффициенты матрицы реакций.

Расчетом колонн на единичные перемещения верхнего узла по направлениям координатных осей получаем реакции колонн в заделке. Матрица реакций в заделке i-той колонны имеет вид

Диагональные элементы матрицы реакций R с учетом значения матриц R_кi равны

(4.33)

В выражении (4.33) вклад в сумму будут давать только элементы с номерами узлов блоков, примыкающих к узлу n, например

r₁₁ = -r₁₂ - r₁₄ - r₁₅ - R_k1;

r₂₂ = -r₂₁ - r₂₃ - r₂₄ - r₂₅ - r₂₆ - R_k2.

Элементы правых частей представляют собой реакции в фиктивных связях от внешней нагрузки, например,

где q₁, A₁, q₁₁, A₁₁ - равномерное распределенная нагрузка и площадь соответственно для блоков I иII.

В результате решения полученной системы уравнений равновесия определяем перемещения узлов соединения элементов каркаса между собой. Окончательно напряженно-деформированное состояние элементов каркаса получаем расчетом на заданные внешние нагрузки и найденные перемещения опорных узлов структурных блоков - на ЭВМ по существующим программам расчета, колони - обычными методами строительной механики.