Расчет неразрезных и других сложных в плане структурных плит с выделением подсистем

4.22. Для сложных структурных плит при большом количестве узлов и стержней рекомендуется производить разделение конструкции на подсистемы произвольной формы, что соответствует подразделению матрицы системы уравнений равновесия узлов конструкции на блоки [5].

Из всего множества узлов структурной плиты выделяются узлы связи, по которым сочленяются подсистемы и к которым сводится жесткость каждой подсистемы путем исключения внутренних узлов. Уравнения равновесия узлов связи составляют окончательную систему уравнений равновесия конструкции. Ниже приводится описание процедуры исключения внутренних узлов каждой подсистемы.

Система уравнений для одной подсистемы имеет вид

(4.34)

где   - столбец (1×3 у₀) трехкомпонентных векторов перемещений всех узлов подсистемы;   - столбец (1×3у₀) трехкомпонентных векторов нагрузки, приложенной в уздах подсистемы; R₀ - матрица (3у₀×3у₀) жесткостных коэффициентов; y₀ - число узлов подсистемы.

Подразделив узлы на внутренние и узлы связи, можно записать (4.34) в виде

(4.35)

После исключения первой строки получим

(4.36)

Окончательная система уравнений равновесия составляется после определения для всех подсистем выражений типа (4.36) и поэлементного суммирования одноименных клеток (3×3) матриц жесткости для контурных узлов. Она имеет вид

(4.37)

где   - столбец (1×3 у_с) трехкомпонентных векторов перемещений узлов связи;   - столбец (1×3 у_c)трехкомпонентных векторов узловых нагрузок в узлах связи; R^c - матрица (3у_c ×3у_c) жесткостных коэффициентов узлов связи; у_с - число узлов связи.

Перемещения всех внутренних узлов каждой подсистемы находятся после решения системы уравнений (4.37) по найденным перемещениям узлов связи обратным ходом

(4.38)

где   - перемещения узлов связи, соответствующих данному элементу, выбранные из столбца  . По найденным перемещениям узлов находятся усилия во всех стержнях.

Описанную методику исключения неизвестных можно представить, истолковав полную матрицу системы уравнений как квазидиагональную с окаймлением. Запишем матрицу Rⁿ полной системы уравнений, которая фактически не составляется, в виде

(4.39)

где через 0 обозначены блоки, все элементы которых тождественно равны нулю. В конструкции выделены подсистемы, все узлы связи объединены в блок с. Блоки R₁₁, R₂₂,.., R_сс квадратные и невырожденные, поэтому для решения системы уравнений с матрицей Rⁿ можно применить методы исключения Гаусса в блочной форме. После исключения блоков составляется окончательная система уравнений типа (4.37).

Процедура блочного исключения внутренних узлов каждой подсистемы графически представлена на рис. 4.8.

4.23. Для расчета сложных структурных плит с выделением подсистем с учетом геометрической нелинейности рекомендуется использовать итерационный процесс, который начинается с решения задачи в линейной постановке по уравнениям (4.34) и (4.37) и идет по следующей схеме:

(4.40)

где F⁽ⁱ⁾_E - вектор нагрузки, которая находится в равновесии с внутренними усилиями системы на каждом i-том шаге итерационной процедуры; R⁽ⁱ⁾_E - матрица жесткости системы, составленная на i-том шагe итерационной процедуры по измененной геометрии узлов;   - вектор перемещений и вектор приращений перемещений соответственно для i-го шага.

Процесс завершается, когда   достигает пренебрежимо малого наперед заданного значения.

Качественный анализ устойчивости сложных структурных систем производится в процессе расчета по формулам (4.40) с помощью рядов устойчивости, членами которых на каждом шаге i итерационной процедуры являются ведущие диагональные элементы гауссовой формы матриц R.

Рис. 4.8. Схема жесткостной матрицы при решении системы линейных уравнений равновесия узлов с выделением подсистем

а - полная матрица; б - матрица после исключения внутренних узлов; в - запись матрицы в компактной форме (цифрами указаны номера подсистем)