- •Методичні вказівки до виконання контрольних та самостійних робіт
- •§1. Елементи векторної алгебри.
- •1. Поняття вектора. Основні операції над векторами.
- •2. Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів. Розклад вектора по базису.
- •3. Лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами.
- •4. Проекція вектора на вісь.
- •5. Прямокутна система координат.
- •6. Розклад векторів по базисних векторах
- •7. Напрямні косинуса вектора.
- •8. Координати вектора, що заданий координатами двох точок.
- •9. Поділ відрізка в заданому відношенні.
- •§2. Скалярний добуток векторів.
- •1. Скалярний добуток і його властивості.
- •2. Обчислення скалярного добутку через координати.
- •Кут між двома векторами.
- •§3. Векторний добуток векторів.
- •1. Векторний добуток і його властивості.
- •2. Застосування векторного добутку векторів.
- •§4. Мішаний добуток трьох векторів.
- •Визначення мішаного добутку трьох векторів і його властивості.
- •Обчислення мішаного добутку через координати векторів.
- •Умова компланарності трьох векторів.
- •Застосування мішаного добутку векторів.
- •Питання по темі „векторна алгебра”
- •Індивідуальне завдання 1.
- •Індивідуальне завдання 2.
- •Продовжить формулювання:
- •Задана піраміда авсd, координати вершин якої:
- •Обчислити площу паралелограма авdс, що побудований на векторах , для якого за формулою .
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Векторна алгебра
- •Надруковано в Видавничому центрі кіі двнз „ДонНту”
2. Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів. Розклад вектора по базису.
Розглянемо систему векторів
Означення 4. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що
(1)
Означення 5. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких не всі дорівнюють нулю (тобто ), що справджується рівність
(2)
Означення 6. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність
(3)
можлива лише при .
Теорема 1. Для того, щоб система векторів була лінійно залежна необхідно і достатньо, щоб один з її векторів був лінійною комбінацією інших, тобто лінійно виражався через інші вектори системи.
Геометричний зміст лінійної залежності векторів в R3, що інтерпретуються як напрямлені відрізки, пояснюють слідуючи теореми.
Теорема 2. Система, яка складається із одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, якщо цей вектор нульовий.
Теорема 3. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.
Теорема 4. Для того, щоб три вектори були лінійно залежними, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарними.
Означення 7. Впорядкована пара неколінеарних векторів називається базою, або базисом на площині.
Таке ж означення і в базисі R3:
Має місце теорема:
Теорема 5. Кожен вектор на площині єдиним способом розкладається на пару неколінеарних векторів
(4)
Співвідношення (4) називають розкладом вектора в базисі . Числа називають координатами вектора вектора в базисі і записують
Трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо спостерігач, який знаходиться в початку кінців векторів у вказаному порядку рухається за часовою стрілкою. В противному випадку – ліва трійка. Всі праві
Базисом у просторі (або ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.
Теорема 6. Якщо в просторі задано базис то будь-яку впорядковану трійку некомпланарних векторів ,, можна однозначно подати як лінійну комбінацію базисних векторів, тобто у вигляді:
(5)
Рівність(5) називається розкладом вектора в базисі . Числа називаються координатами вектора в базисі , і записують це:
Приклад 2. Чи можуть вектори , , утворювати базис? Якщо так то знайти розклад по даному базису?
Розв’язання:
Нехай дано вектор . Перевіримо, чи утворюють вектори , , базис. Нехай лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю тобто отримаємо:
,
Через координати ця рівність має вигляд:
, або
Для знаходження отримаємо систему рівнянь
Визначник системи . Значить, дана однорідна система має тільки нульові розв’язки . Отже, вектори , , -лінійно незалежні, а тому утворюють базис.
Відповідь: .
Якщо вектори попарно перпендикулярні і довжина кожного із них дорівнює одиниці то базис називається ортонормованим, а координати х1, х2, х3 – прямокутними. Базисні вектори ортонормованого базису будемо позначати .