- •Казанский кооперативный институт (филиал)
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •Введение
- •Тема 1. Математическое моделирование и анализ экономических процессов. Основные представления о математических моделях.
- •Тема 2. Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности
- •Тема 3. Оптимальное планирование перевозок товаров. (Транспортная задача, транспортный метод).
- •Формулировка транспортной задачи.
- •Математическая модель транспортной задачи.
- •Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи.
- •Свойство системы ограничений транспортной задачи.
- •Опорное решение транспортной задачи.
- •Метод вычеркивания
- •Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла.
- •Метод минимальной стоимости.
- •Переход от одного опорного решения к другому.
- •Означенный цикл.
- •Распределительный метод.
- •Метод потенциалов.
- •Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом.
- •Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.
- •Транспортная задача по критерию времени.
- •Тема 4. Принятие решений
- •Методы принятия решений
- •Матрица выйгрышей
- •Матрица Рисков
- •2. Принятие решений в условиях частичной неопределенности (в условиях коммерческого риска)
- •Тема 5. Модель системы массового обслуживания
- •Системы массового обслуживания
- •Основные понятия теории массового обслуживания
- •1.7. Система массового обслуживания с отказами
- •8. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью
- •1.10. Система массового обслуживания с ограниченной очередью
- •1.10.1. Одноканальная смо с ограниченной очередью
- •1.10.2 Многоканальная смо с ограниченной очередью
- •Тема 6. Основные понятия и задачи метода сетевого планирования и управления
- •Основные понятия и задачи.
- •Проект реконструкции торгового центра
- •Тема 7. Экономико-математические методы и модели изучения и прогнозирования спроса.
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Тема 8. Модели управления запасами
- •Модели управления запасами.
- •I. Детерминированные модели управления запасами.
- •1.Простейшая модель оптимального размера заказа.
- •2. Модель оптимального размера заказа с фиксированным временем его выполнения.
- •4. Модель оптимального размера заказа с дефицитом.
- •5. Модель оптимального размера с количественными скидками.
- •II. Стохастическая модель
- •6. Дискретная стохастическая модель оптимизации начального запаса.
- •Примеры
- •Тема 8. Балансовая модель. Балансовый метод.
- •Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат.
- •Полные внутрипроизводственные затраты.
- •Полные затраты труда капиталовложений
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •420045 Республика Татарстан, г. Казань,
Тема 2. Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности
Вопросы:
Задачи оптимизации, решаемые методами линейного программирования.
Оптимальное использование ресурсов.
Оптимальное планирование производства
Формирование рациональных смесей.
Оптимальная загрузка оборудования
Оптимизационные модели – это класс моделей, в класс которых ставится цель оптимизировать какой-то параметр, т.е. сделать максимальным или минимальным. Например, максимизация прибыли, минимизирование затрат.
Основные этапы построения экономической модели оптимизационного типа.
I этап: определение цели моделирования, т.е. что мы хотим получить, используя модель. Цель – получение максимальной прибыли предприятия.
II этап: определение параметров модели, т.е. факторов, на которые мы повлиять не можем (константа, числовые коэффициенты). Например, норма расхода на изготовление товара.
III этап: формирование управляющих переменных (выбор переменных) в модели. Например, какое количество продукции нужно выпустить, чтобы прибыль была максимальной. Количество переменных – это управляемая переменная.
IV этап: определение области допустимых решений – это те ограничения, которые должны удовлетворять наши переменные. Ограничения по ресурсам, по сырью, количеству рабочего времени и т.д.
V этап: выявление неизвестных факторов, которые могут измениться случайным образом.
VI этап: цель, которую мы ставим, выражают через упр-е переменные и записывают в виде целевой функции.
Целевая функция – это функция, для которой мы будем искать максимальные или минимальные значения.
Экономико-математические модели моделирования оптимизации состоят из трех основных компонентов:
целевая функция, которая записывает условие либо максимизации, либо минимизации;
система ограничении, предполагающий собой систему неравенств или уравнений;
условие неотрицательности управляющих переменных.
Основные типы задач оптимизации. Примеры типичных задач.
1 тип: модель (задача) планирования (оптимизации) производства.
а) цель – максимизация прибыли.
б) параметры модели – известные числовые значения:
n – число видов изделий;
m – число типов ресурсов;
bi – запас ресурсов i-го типа;
aij – количество ресурса i-го типа, необходимое для изготовления изделия j-го вида;
pj – прибыль от реализации каждого j-го вида изделия.
в) управляющая переменная, в данном случае х1, х2, х3, …
г) ограничения задачи – ограничения по ресурсам и условие неотрицательности переменных.
В общем виде модель оптимизации производства записывается:
Р = ∑ рj хj → max
В расчете этой модели определяют оптимальный план производства, т.е. какое количество каждого вида надо изготовить, чтобы при этом была максимальная прибыль.
2 тип: задача на минимизацию.
Формирование минимальной потребительской корзины. Например, задача о смесях, оптимальном рационе животных.
Суть задачи. Задан ассортимент продуктов, каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ (витамины, жиры, минералы, калории). Известен требуемый человеку минимальный набор питательных веществ. Необходимо определить требуемую потребительскую корзину, т.е. количество каждого вида продуктов, чтобы она удовлетворяла условие питательной ценности, имела минимальную стоимость.
Составление математической модели:
а) цель – минимизация стоимости потребительской корзины.
б) параметры:
n – число различных видов продуктов;
m – число различных питательных веществ;
bi – количество i–го питательного вещества необходимое человеку;
aij – содержание i–го питательного вещества в j–ом продукте;
cj – стоимость каждого j–го продукта.
в) управляющие переменные – количество каждого j–го продукта, входящего в потребительскую корзину.
г) система ограничений, определяется системой неравенств, которые представляют собой условие необходимого уровня потребления каждого питательного вещества.
д) целевая функция. Его критерий оптимальности будет минимальным, необходимо минимизировать стоимость потребительской корзины.
С = ∑ сj хj → min
Требуется подобрать такое количество продуктов, чтобы и условие питательной ценности были соблюдены, и стоимость была минимальной.
3 тип: Расчет оптимальной загрузки оборудования.
Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на имеющемся оборудовании. Для каждого оборудования заданы:
- фонд рабочего времени;
- себестоимость изготовления единицы продукции каждого вида;
- производительность.
Требуется распределить изготовление продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальной.
Составление математической модели:
а) цель – минимизация себестоимости процесса производства;
б) параметры:
n – число единицы оборудования;
m – число видов продукции в производственном запасе (номенклатура);
bi – количество единиц продукции i-го вида, которого необходимо произвести;
Тj – фонд рабочего времени оборудовния j-го вида;
aij – производительность оборудования j-го типа по производству изделий i-го вида;
cij – себестоимость изготовления единицы продукции i-го вида на станке j-го типа.
в) управляющие переменные хij – время в течение которого оборудовании е j-го типа занята изготовлением продукции i-го вида.
г) суть: необходимо наиболее рационально распределить время выполнения заказов между станками, чтобы себестоимость выполнения этого заказа была минимальной.
д) система ограничений – ограничение по фонду времени станков.
е) целевая функция:
С = ∑ ∑ сij аij хij → min
4 тип: Составление оптимального плана реализации товаров.
Суть: Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств, т.е. ресурсов (людских, технических, денежные ресурсы, информационные).
Заданы:
- общий запас этих средств;
- число средств, используемых при реализации единицы любого товара;
- прибыль от продажи.
Надо сформировать такой план реализации товаров, который даст фирме максимальную прибыль.
а) цель – максимизации прибыли.
б) параметры:
n – число различных видов реализуемых товаров;
m – число различных видов средств продажи;
bi – запас средств каждого вида;
aij – число средств i-го вида, используемых для реализации единицы товара j-го вида;
рj – прибыль от реализации единицы товара.
в) управляющие переменные хj – количество реализуемого товара каждого вида.
г) система ограничений – это ограничения по запасам средств, необходимых при продаже и условие неотрицательности переменных.
д) критерий оптимальности целевой функции:
Р = ∑ рj хj → max
В результате расчета математической модели определяется количество реализуемых товаров определенного вида, обеспечивающих фирме максимальную прибыль.