- •Казанский кооперативный институт (филиал)
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •Введение
- •Тема 1. Математическое моделирование и анализ экономических процессов. Основные представления о математических моделях.
- •Тема 2. Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности
- •Тема 3. Оптимальное планирование перевозок товаров. (Транспортная задача, транспортный метод).
- •Формулировка транспортной задачи.
- •Математическая модель транспортной задачи.
- •Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи.
- •Свойство системы ограничений транспортной задачи.
- •Опорное решение транспортной задачи.
- •Метод вычеркивания
- •Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла.
- •Метод минимальной стоимости.
- •Переход от одного опорного решения к другому.
- •Означенный цикл.
- •Распределительный метод.
- •Метод потенциалов.
- •Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом.
- •Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.
- •Транспортная задача по критерию времени.
- •Тема 4. Принятие решений
- •Методы принятия решений
- •Матрица выйгрышей
- •Матрица Рисков
- •2. Принятие решений в условиях частичной неопределенности (в условиях коммерческого риска)
- •Тема 5. Модель системы массового обслуживания
- •Системы массового обслуживания
- •Основные понятия теории массового обслуживания
- •1.7. Система массового обслуживания с отказами
- •8. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью
- •1.10. Система массового обслуживания с ограниченной очередью
- •1.10.1. Одноканальная смо с ограниченной очередью
- •1.10.2 Многоканальная смо с ограниченной очередью
- •Тема 6. Основные понятия и задачи метода сетевого планирования и управления
- •Основные понятия и задачи.
- •Проект реконструкции торгового центра
- •Тема 7. Экономико-математические методы и модели изучения и прогнозирования спроса.
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Тема 8. Модели управления запасами
- •Модели управления запасами.
- •I. Детерминированные модели управления запасами.
- •1.Простейшая модель оптимального размера заказа.
- •2. Модель оптимального размера заказа с фиксированным временем его выполнения.
- •4. Модель оптимального размера заказа с дефицитом.
- •5. Модель оптимального размера с количественными скидками.
- •II. Стохастическая модель
- •6. Дискретная стохастическая модель оптимизации начального запаса.
- •Примеры
- •Тема 8. Балансовая модель. Балансовый метод.
- •Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат.
- •Полные внутрипроизводственные затраты.
- •Полные затраты труда капиталовложений
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •420045 Республика Татарстан, г. Казань,
Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи.
Теорема1. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей:
, т.е. задача должна быть с правильным балансом.
Доказательство. Необходимость. Пусть задача имеет допустимое решение , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n . Докажем, что . Подставим в уравнения системы ограничений (2), (3), получим , i=1,2,,…,m, , j=1,2,…,n . Просуммируем первую и вторую группы тождеств по отдельности: и . Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс .
Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс =М. Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение. Сначала убедимся в том, что область допустимых решений задачи – непустое множество. Проверим, что = , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n является допустимым решением. Подставим в левые части уравнений системы ограничений (2), (3), получим = = М= , i=1,2,,…,m;
= = М= , j=1,2,…,n, т.е. уравнения обращаются в тождества. Очевидно, что удовлетворяет и условиям неотрицательности.
Далее покажем, что существует оптимальное решение. Учитывая, что стоимости перевозок единиц груза ограничены сверху и снизу ,где С и D – конечные постоянные, можно записать
Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция, достигает своего наименьшего (а также и наибольшего) значения. Теорема доказана полностью.
Свойство системы ограничений транспортной задачи.
Теорема2. Ранг системы – условий транспортной задачи равен N=m+n-1.
Доказательство. Как известно из линейной алгебры, для нахождения базиса системы векторов необходимо составить однородную систему уравнений
.
Эту систему с помощью преобразований Жордана приводят к равносильной разрешенной; в базис включают векторы, соответствующие разрешенным неизвестным. Ранг системы векторов равен числу векторов, входящих в базис, т.е. числу разрешенных неизвестных этой системы.
Системе векторов – условий транспортной задачи Aij , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n соответствует однородная система уравнений
,
где =(0,0,…,0)т – нулевой вектор (транспонированный).
Запишем матрицу этой системы (она является также матрицей системы ограничений транспортной задачи):
Если к последней строке (уравнению) прибавить (n-1) строку (уравнение), начиная с (m+1)-й, и вычесть первые m строк, то получится строка, состоящая из нулей. Это значит, что число разрешенных неизвестных в этой системе и ранг r системы векторв-условий не могут быть равны числу m+n уравнений. Следовательно, r m+n-1.
Покажем, что найдутся N=m+n-1 линейно независимых векторов-условий. Из векторов-условий задачи выберем следующие: - и убедимся, что они линейно независимы. Для этого составим систему уравнений . Матрица этой системы имеет следующий вид:
+
С помощью элементарных преобразований можно привести ее к единичной. Для этого строки с (m+1)-й до (m+n-1)-й умножим на (-1) и прибавим к первой строке, тогда в ней останется только одна единица, остальные элементы будут нулевыми. После этого первые m строк умножим на (-1) и прибавим к последней строке. В результате в матрице останутся единицы только по диагонали, а последняя строка будет состоять из нулей. Следовательно, система уравнений имеет единственное нулевое решение , а система векторов линейно независима. Теорема доказана.