4.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами

В страховой практике часто используют накопительные схемы страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с помощью актуарных расчетов, - накопленная сумма вклада.

Если каждый член группы численности l_x в возрасте х лет внесет в фонд взнос в размере 1 руб., то через t лет накопленная сумма будет равна . В расчете на одного дожившего до возраста (х+ t) это составит

. (14)

Как видно из формулы (14), наращение суммы будет происходить быстрее, чем на банковском вкладе с такой же процентной ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими.

Если каждый член группы будет вносить в начале каждого года в фонд сумму в размере 1 руб. (рента пренумерандо), то накопленная сумма за t_упл лет в расчете на одного дожившего будет равна

(15)

Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента постнумерандо), то аналогичным образом получим

(16)

Пример:

Рассчитать сумму, накопленную для страхователя в возрасте 30 лет за 10 лет, если ежегодные взносы пренумерандо будут равны 1 тыс. руб.

руб. – накопленная сумма, если вносить по 1 руб.

Если вносить ежегодно по 1 тыс руб., за 10 лет накопится

13,7  1 000 =13 700 руб.

4.6. Переход от единовременной нетто-ставки к нетто-ставке при уплате страхового взноса в рассрочку

В связи с тем, что договор страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента страхового взноса будет пренумерандо.

При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо учесть:

1. страховщик не может получить такой же доход от инвестирования страховых резервов, как при единовременной уплате страхового взноса,

2. часть взносов страховщик вообще не получит из-за уменьшения числа страхователей вследствие их смертности.

Основа для расчета величины страховых взносов - условие равенства обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора, т.е. собранных взносов должно хватить на предстоящие выплаты (см. рис.1).

Пусть страхователю на момент заключения договора х лет. Если срок уплаты страховых взносов t_упл, текущая стоимость предстоящих выплат равна Е_{(х+ tупл)}, а неизвестная величина страховых взносов Р, то упомянутое выше равенство имеет вид

.

Отсюда

, где

- единовременная нетто-ставка для страхователя в возрасте (х+t_упл) лет на 1 руб страховой суммы,

- сумма, накопленная для х-летнего страхователя за срок t_упл , если каждый год вносить по 1 рублю. Ее называют коэффициент рассрочки.

Рис. 1. Схема страхования на дожитие при уплате взноса в рассрочку

Таким образом, годовые нетто-ставки исчисляются делением единовременных нетто-ставок на коэффициент рассрочки.

Получим годовые нетто-ставки аннуитетов:

годовая нетто-ставка для отложенного пожизненного аннуитета пренумерандо

,

годовая нетто-ставка для отложенного пожизненного аннуитета постнумерандо

,

годовая нетто-ставка для отложенного аннуитета с выплатами пренумерандо в течение срока t_выпл

,

годовая нетто-ставка для отложенного аннуитета с выплатами постнумерандо в течение срока t_выпл

,

годовая нетто-ставка для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо

,

годовая нетто-ставка для немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо

,

годовая нетто-ставка для немедленного аннуитета с выплатами пренумерандо в течение срока t_выпл

,

годовая нетто-ставка для немедленного аннуитета с выплатами постнумерандо в течение срока t_выпл

.

Пример:

Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор страхования пенсии, согласно которому начиная с 65 лет пожизненно будет выплачиваться пенсия в размере 10 тыс. руб. в начале каждого года. Определить размер годовых взносов, которые будет уплачивать страхователь, начиная с 40 лет до 65 лет.

на 1 руб. выплат.

Стоимость договора составит 0,13  10 000 = 1300 руб.

По 1300 руб. необходимо вносить 25 лет, чтобы потом пожизненно ежегодно получать по 10 тыс. руб.