Вопрос №2: (Операция умножения матриц. Её свойства. Алгебра квадратных матриц.) Умножение матриц.

Определение:

произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй.

Если

,  ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле:

c _ij =a _i1 b _1j + a _i2 b _2j + ... +a _in b _nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Квадратные матрицы можно перемножать, только если они одинаковых размеров!

Свойства умножения матриц:

1. (А*В)*С = А*(В*С) – Ассоциативность

2. А*Е = А, Е*В = В, где Е – единичная матрица (квадратная), в которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули. Принадлежит R^nxn.

3. (α*А)*В = α*(А*В), А*(α*В) = α*(А*В)

4. А*(В+С) = А*В+А*С, (А+В)*С = А*В+В*С

Данные свойства определены для любых А,В,С, для которых определены выражения, стоящие в левой части равенства.

Доказательство:

1. А принадлежит R^mxk, B принадлежит R^kxl => A*B принадлежит R^mxl =>

=> C принадлежит R^lxn => (A*B)C принадлежит R^mxn.

=> B*C принадлежит R^kxn, A принадлежит R^mxk => A*(B*C)

принадлежит R^mxn.

{(A*B)*C}_ij = ∑^l_p=1{A*B}_ip{C}_pj = ∑^l_p=1(∑^k_q=1{A}_iq{B}_qp){C}_pj=∑_{p=1…k(q=1…l)}a_iqb_qpc_pj

{A*(B*C)}_ij = ∑^k_s=1{A}_is{B*C}_sj = ∑^k_s=1{A}_is(∑^l_t=1{B}_st{C}_tj) = ∑_{s=1…k(t=1…l)}a_isb_stc_tj

(A*B)*C = A*(B*C)

2. а) А принадлежит R^mxk, Е принадлежит R^kxk, A*E принадлежит R^mxk.

{A*E}_ij = ∑^k_s=1{A}_is{E}_sj = ∑¹_s=1a_is∂_sj = a_ij∂_jj = {A}_ij

b) B принадлежит R^mxk, Е принадлежит R^kxk, A*E принадлежит R^mxk.

Доказывается аналогично пункту 2а.

3. А принадлежит R^mxk, α*А принадлежит R^mxk, В принадлежит R^kxn =>

=> (α*A)*B принадлежит R^mxn. A*B принадлежит R^mxn => α(A*B) принадлежит R^mxn.

a) {(α*A)*B}_ij = ∑^k_t=1{α*A}_it{B}_tj = ∑^k_t=1αa_itb_tj = α∑^k_t=1a_itb_tj = α{A*B}_ij = {α*(A*B)}_ij

b) Доказывается аналогично пункту 3а.

Алгебра квадратных матриц.

1. Сложение матриц.

2. Умножение матриц на число.

(обладающие свойствами 1-8)

3. Умножение матриц.

(обладающее свойствами 1-4)

Данные пункты определены для множества R^nxn.

Данное множество R^nxn – является ассоциативной алгеброй с единицей.

Вопрос №3: (Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.)

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называют:

• Перестановка местами двух любых строк матрицы.

• Умножение любой строки на константу, принадлежащую R и не равную 0.

• Умножение одной строки на число с прибавлением к ней другой строки.

Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Первый слева не нулевой элемент строки, называют ведущим элементом данной строки.

Теорема:

Любую прямоугольную матрицу, путем простых преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Следствие:

Любую квадратную матрицу, путем элементарных преобразований можно привести к треугольному виду.

Треугольный вид является частным случаем ступенчатой матрицы.

Данная теорема и следствие также верны для элементарных преобразований столбцов.

Замечание:

Для приведения матрицы к ступенчатому виду, достаточно только 1 и 3 свойства, но 3 свойство также оказывается полезным.