Вопрос №14: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.)

Определение определителя описывается в вопросе №6!

Доказательство: Пусть к   -ой строке матрицы   прибавлена   -ая строка, умноженная на число   . Новую матрицу обозначим   .

В матрице   элементы   -ой строки имеют вид   . По предложению 14.13  , где    -- матрица, полученная из матрицы   заменой   -ой строки на   -ую строку, умноженную на число   .   , то есть 

Предложение 14.13   Пусть в матрице     -ая строка имеет вид   . Тогда   , где матрица   получается из матрицы   заменой   -ой строки на строку   , а матрица    -- заменой   -ой строки на строку   .

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицы   имеет вид   . Тогда

Для случая   утверждение доказано.

Пусть   . Обозначим через   ,   ,   матрицы   ,   , и   , в которых поменяли местами первую и   -ую строки. По только что доказанному (для   ) утверждению   . По предложению 14.8   ,   ,   . Следовательно,   . Умножив обе части последнего равенства на   , получим требуемое утверждение.    

Вопрос №15: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.)

Определение определителя описывается в вопросе №6!

Доказательство: Определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.      

det =0

Вопрос №16: (Как влияют на определитель матрицы элементарные преобразования ее строк. Возможность приведения матрицы к треугольному виду с сохранением ее определителя.)

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Вопрос №17: (Определитель блочной треугольной матрицы.)

Вычисление определителей блочных матриц:

Пусть и – квадратные матрицы (не обязательно одинакового порядка), а и – произвольные матрицы, такие, что блочная матрица

-квадратная

Теорема:

Если все матрицы , , и — одинакового порядка, то

В частном случае когда матрица — первого порядка, приведенная в теореме формула эквивалентна первому шагу метода Гаусса вычисления определителя:

При условии

В частном случае когда матрица — первого порядка, получаем формулу для вычисления окаймленного определителя, т.е. определителя

которую можно сделать универсальной, т.е. действительной и в случае особенной матрицы :

здесь матрица — взаимная матрице

Используя представление взаимной матрицы через алгебраические дополнения, получаем:

Вопрос №18: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).)

В определителе порядка n алгебраическим дополнением элемента, стоящего на пересечении k-го столбца и l-й строки, называется определитель порядка (n - 1), получаемый из данного вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (-1)k+l, где (k + l) - сумма номеров вычеркнутой строки и столбца. Алгебраическое дополнение элемента, рассматриваемое без множителя (-1)k+l, называется минором этого элемента.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам:

По строке

По столбцу

Доказательство: