- •Вопрос №1: (Матрицы. Линейные операции в множестве матриц. Их свойства. Понятие линейного пространства)
- •Линейные операции в множестве матриц.
- •Понятие линейного пространства.
- •Вопрос №2: (Операция умножения матриц. Её свойства. Алгебра квадратных матриц.) Умножение матриц.
- •Алгебра квадратных матриц.
- •Вопрос №3: (Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.)
- •Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
- •Вопрос №4: (Перестановки n элементов. Их количество. Инверсии. Четные и нечетные перестановки.)
- •Вопрос №5: (Транспозиция. Изменение четности перестановки при транспозиции любых двух ее элементов. Количество четных и нечетных перестановок n элементов.)
- •Вопрос №6: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя второго порядка из общего определения.)
- •Вопрос №7: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя третьего порядка из общего определения.)
- •Вопрос №8: (Определитель квадратной матрицы. Вывод формулы вычисления определителя верхней треугольной матрицы.)
- •Вопрос №9: (Определитель квадратной матрицы. Лемма о знаке члена определителя.)
- •Вопрос №14: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.)
- •Вопрос №15: (Определитель квадратной матрицы. Доказать свойство: Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.)
- •Вопрос №16: (Как влияют на определитель матрицы элементарные преобразования ее строк. Возможность приведения матрицы к треугольному виду с сохранением ее определителя.)
- •Вопрос №17: (Определитель блочной треугольной матрицы.)
- •Вопрос №18: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).)
- •Вопрос №19: (Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о «фальшивом разложении» определителя по строке (столбцу).)
- •Вопрос №20: (Определитель Вандермонда. Критерий равенства его нулю.)
- •Вопрос №21: (Определитель произведения квадратных матриц.)
- •Что и требовалось доказать. Вопрос №22: (Определение обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Необходимое условие существования обратной матрицы.)
- •Вопрос №23: (Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.)
Что и требовалось доказать. Вопрос №22: (Определение обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Необходимое условие существования обратной матрицы.)
Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Если матрица имеет обратную, то и .
Доказательство.
Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то . Так как Определитель единичной матрицы равен единице , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .
Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Вопрос №23: (Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.)
Дана матрица . Требуется вычислить обратную к ней матрицу .
Алгоритм решения:
1) Записать исходную матрицу с присоединенной к ней единичной. 2) Алгебраическими преобразованиями, проводимыми со строками полученной составной матрицы приводим ее к такому виду, чтобы в левой половине стояла единичная матрица. Тогда в правой половине будет стоять матрица .
Т.е.
должно получиться в итоге