3. Смешанное произведение векторов

С мешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора [ , ] на вектор (рис.7).

Рис.7.

Обозначение: ( , , ) или .

Т.о.: ( , , ) = ([ , ], ).

Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах , и как на сторонах. Смешанное произведение векторов , и положительно, если эти векторы образуют правую тройку, и отрицательно – если левую.

Свойства смешанного произведения:

1. ( , , ) = ( , , ) =( , , ) – смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов.

2. ( , [ , ]) = ([ , ], ) – смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения.

. 3. ( , , ) = – ( , , ) = – ( , , ) = – ( , , ) – смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

. 4. ( , , ) = 0  , и компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны).

Если векторы , и заданы своими координатами

= { а_х, а_у, а_z }, = { b_х, b_у, b_z }, = { c_х, c_у, c_z }, то

( , , ) = .

Если ( , , ) > 0, то , , – правая тройка; ( , , ) < 0 – левая.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и :

V₁ = | ( , , )| .

Объем пирамиды, построенной на векторах , и :

V₂ = | ( , , )|.

Пример 19. Доказать, что четыре точки А (3; 5; 1), В (2; 4; 7), С (1; 5; 3), D (4; 4; 5)

лежат в одной плоскости.

• Достаточно доказать, что три вектора , и , имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т.е. компланарны). Координаты этих векторов:

= {2 – 3; 4 – 5; 7 – 1} = {–1; –1; 6},

= {1 – 3; 5 – 5; 3 – 1} = {–2; 0; 2},

= {4 – 3; 4 – 5; 5 – 1} = {1; –1; 4}.

Проверяем условие компланарности векторов:

( , , ) = = 0 – 2 + 12 – 0 – 2 – 8 = 0 =>

=> векторы , и компланарны, следовательно, точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.

Пример 20. Даны вершины пирамиды А (5; 1; –4), В (1; 2; –1), С (3; 3; –4),

S (2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

• Т.к. объем V пирамиды равен V = S_оснh, то h = ,

где h – высота пирамиды, S_осн – площадь основания.

Имеем: = {2 – 5; 2 – 1; 2 + 4} = {–3; 1; 6},

= {1 – 5; 2 – 1; –1 + 4} = {–4; 1; 3},

= {3 – 5; 3 – 1; –4 + 4} = {–2; 2; 0}.

V = = | 0 – 6 – 48 + 12 + 18 + 0 | = | –24 | = 4.

S_осн = | [ , ] | = = | –6 – 6 – 6 | = = 3 . Следовательно, h = = .

Пример 21. Вычислить ( + + , – – , – + ).

• Согласно свойствам смешанного произведения

( + + , – – , – + ) = ([ + + , – – ], – + ) = ([ , ] – [ , ] – [ , ] +

+ [ , ] – [ , ] – [ , ] + [ , ] – [ , ] – [ , ], – + ) = (0 – [ , ] – [ , ] –

– [ , ] – 0 – [ , ] – [ , ] + [ , ] – 0, – + ) = (–2[ , ] – 2[ , ], – + ) =

= –2(([ , ] + [ , ]), – + ) = –2 ( ( , , ) – ( , , ) + ( , , ) – ( , , ) – ( , , ) + ( , , ) ) = –2 ( 0 – 0 + ( , , ) – 0 + ( , , ) + 0 ) = –2  2( , , ) = –4( , , ).