Расстояние от данной точки до данной прямой
Расстоянием d от точки М0 (x0; у0) до прямой Ах + Ву + С = 0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую:
d
=
.
Расстояние d от точки М0 (x0; у0) до прямой
х cos α + у sin α – p = 0:
d = | х0 cos α + у0 sin α – p |.
Пример 12. Найти расстояние между параллельными прямыми 3х + 4у – 20 = 0
и 6х + 8у + 5 = 0.
• Возьмем на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х = 0, тогда у = 5, т.е. А (0; 5). Расстояние d от точки А до второй прямой :
d =
=
= 4,5.
Плоскость в пространстве Различные виды уравнения плоскости
Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным
уравнением первой степени с тремя неизвестными.
У равнение плоскости, проходящей через
т
очку
М0
(x0;
у0;
z0)
перпендикулярно
вектору
=
{A;
B;
С}:
А(х
- x0)
+ В(y
- y0)
+ C(z
- z0)
= 0.
2. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 имеет вид:
А1х + В1у + С1z + D1 + λ (А2х + В2у + С2z + D2) = 0,
г
де
λ –
числовой множитель.
О бщее уравнение плоскости:
Ах + Ву + Сz + D = 0.
Вектор
= {A;
B;
C}
– нормальный
вектор
п лоскости ( перпендикулярен плоскости).
Частные случая уравнения:
Ах + Ву + Cz = 0 (D = 0) – плоскость проходит через начало координат;
Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0 и Ву + Cz + D = 0);
Ах + Ву = 0 (D = C = 0 – плоскость проходит через ось Оz;
Ах + Cz = 0, Ву + Cz = 0 – через ось Оу и Ох соответственно);
Ах + D = 0 (В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости Оуz;
Cz + D = 0, Ву + D = 0 – параллельна плоскости Оxу и Оxz соответственно);
Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью Оуz; y = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Оxz и Оxy соответственно);
У
равнение
плоскости в отрезках:
= 1.
а
,
b,
с
– длины отрезков (с учетом знаков),
отсекаемых
п лоскостью на осях Ох, Оу и Oz соответственно.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1(x1; у1; z1), М2(x2; у2; z2), М3(x3; у3; z3) :
=
0.
Нормальное уравнение плоскости:
x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0,
где р – длина перпендикуляра OK, опущенного из
начала координат на плоскость, α, β, γ – углы,
образованные этим перпендикуляром с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно
(cos2α + cos2β + cos2γ = 1).
Общее уравнение
плоскости можно преобразовать в
нормальное уравнение путем умножения
на нормирующий
множитель
;
знак берется противоположным знаку
свободного члена D
(в общем
уравнении плоскости).
Пример 13. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а) 2у – 5 = 0, б) х + z – 1 = 0, б) 3х + 4y + 6z – 12 = 0.
• а) Плоскость 2у –
5 = 0 параллельна плоскости Охz;
она отсекает на оси Оу отрезок, равный
и имеет вид, изображенный на рис.а.
б) Плоскость х + z – 1 = 0 параллельна оси Оу; она пересекает плоскость Охz по прямой х + z = 1, отсекая на осях Ох и Оz отрезки, равные 1 (рис.б).
в) Общее уравнение плоскости 3х + 4y + 6z – 12 = 0 перепишем в виде
3х + 4y
+ 6z = 12, т.е.
+
+
=
1 – уравнение плоскости в отрезках.
Эта плоскость отсекает на осях Ох,
Оу, Оz отрезки,
равные 4, 3, 2 соответственно (рис.в).
а б в
Пример 14. Уравнение плоскости 2х – 6y + 3z – 14 = 0 привести к нормальному
виду.
• Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель
λ =
=
.
Перед корнем стоит знак «+», т.к.
свободный член С
= –14 заданного уравнения
отрицателен. Имеем:
(2х
– 6y + 3z
– 14) = 0 , т.е.
х
–
y
+
z
– 2 = 0. Здесь р = 2, т.е. расстояние
от точки О(0; 0; 0) до плоскости равно
2; cos
α =
,
cos
β =
–
,
cos
γ =
(cos2α
+ cos2β
+ cos2
γ =
+
+
=
1).
Пример 15. Написать уравнение плоскости:
а) параллельной оси Oz и проходящей через точки М1 ( 3, –1, 2 ) и М2 (–1, 2, 5 );
Подставляя
найденные значения А и В в уравнение
Ах + Ву + D = 0,
получаем
Dx
Dy
+ D = 0. После
сокращения на
D
получим 3х + 4у – 5 =
0.
Пример 17. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки М1 ( 1, 0, –1 ), М2 ( 2, 2, 3 ), М3 ( 0, –3, 1 ).
• Три точки, не лежащие на одной
прямой, определяют в пространстве
единственную плоскость. Ее уравнение
будем искать в виде Ax
+ By + Cz
+ D = 0. Т.к. точки
М1,
М2
и М3
лежат в одной плоскости, векторы
и
также лежат в ней (см. рис.).
Векторное произведение [
,
]
п
ерпендикулярно
плоскости, в которой они лежат.
Следовательно,
в качестве нормального вектора
к плоскости можно взять вектор
= [ , ]. Координаты векторов , и :
= {2 – 1; 2 – 0; 3 – (–1)} = {1; 2; 4},
= {0 – 1; –3 – 0; 1 – (–1)} = {–1; –3; 2},
=
[
,
]
=
= 16
–
6
–
=>
= {16, –6, –1}.
Т.о., параметры А, В и С плоскости равны 16, –6 и –1 соответственно и ожидаемый вид уравнения 16x – 6y – z + D = 0. Для нахождения D подставим в это уравнение координаты любой из лежащих в ней точек М1, М2 или М3 , например, М1: 16 1 – 6 0 – (–1) + D = 0 => D = –17.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1 ( 1, 0, –1 ),
М2 ( 2, 2, 3 ), М3 ( 0, –3, 1 ) есть 16x – 6y – z – 17 = 0.
Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 1, –2, 3 )
и линию пересечения плоскостей 2x – y + 2z – 6 = 0 и 3x + 2y – z + 3 = 0 .
Для нахождения второго решения
положим х = 3 (подстановка z
= 0 приводит к дробным решениям, что
неудобно):
=> М3
( 3, 8, –4 ). Далее, воспользовавшись
способом, приведенным в примере 17,
получим уравнение искомой плоскости
14x + 7y
– 2z + 6 = 0 .
Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Под углом между плоскостями понимается угол между нормальными векторами этих плоскостей.
Если плоскости Q1 и Q2 заданы уравнениями
А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0,
нормальные вектора которых = {A1; B1; С1} и
= {A2; B2; С2}, то:
cos
φ
=
.
Наименьший из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, равен
cos
φ
=
.
Условие параллельности плоскостей Q1 и Q2: .
Условие перпендикулярности плоскостей Q1 и Q2:
A1 А2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Плоскости
совпадают,
когда:
.