Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями

и

Под углом между прямыми понимается угол между направляющими векторами = {m₁, n₁, p₁} и = {m₂, n₂, p₂}:

cos φ = .

Острый угол между прямыми:

cos φ = .

Условие параллельности прямых L₁ и L₂: .

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂:

m₁ m₂ + n₁n₂ + p₁ p₂ = 0.

Прямые совпадают, когда и точка (x₁; у₁; z₁) L₂ и, наоборот, точка (x₂; у₂; z₂) L₁.

Условие, при котором прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости:

= 0.

П ри этом, если , то прямые L₁ и L₂ пересекаются.

Получаем: t = из первого уравнения, t = из второго, t = –1 из третьего. Это означает, точка М (2, 0, -1) не принадлежит второй прямой; прямые не совпадают, значит, они параллельны.

m, n, p – координат направляющего вектора этой прямой согласно условию перпендикулярности прямых запишем

2. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Ах + Ву + Сz + D = 0:

sin φ = .

Условие параллельности прямой и плоскости: Аm + Вn +Сp = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой . Подставив х, у и z в уравнение плоскости

А(х₀ + m t) + В(y ₀ + n t) + С(z ₀ + p t) + D = 0, находим значение t = t_р . Координаты точки пересечения: _. .

Условие, при котором прямая лежит в плоскости:

.

Если Аm + Вn + Сp ≠ 0, то прямая пересекает плоскость;

если Аm + Вn + Сp = 0 и Ах₀ + Вy ₀+ Сz ₀ + D ≠ 0 – прямая параллельна плоскости.

решая систему

Из равенства (3 + t) – 2(4 – 2t) + (5 + t) – 6 = 0 вытекает равенство 6t – 6 = 0,

вектора прямой и нормального вектора плоскости не пропорциональны, то прямая не перпендикулярна плоскости.

3. Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)

называются кривыми второго порядка. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

О кружность – множество всех точек плоскости,

удаленных от заданной точки А плоскости – центра

о кружности – на одно и то же расстояние R – радиус

окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности (каноническое уравнение окружности):

(x – a)² + (y – b)² = R²,

где (a, b) – координаты ее центра.

В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид:

x² + y² = R².

Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если А = С ≠ 0 и В = 0.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х² + у² – 4х + 8у – 16 = 0; а) 9х² + 9у² + 42х – 54у – 95 = 0.

• а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:

х² + у² – 4х + 8у – 16 = х²– 4х + 4 – 4 + у² + 8у + 16 – 16 – 16 = (х – 2) ² + (у + 4) ² = 6².

Центр окружности находится в точке О(2; -4), а радиус равен 6.

б) Разделив обе части уравнения на 9, найдем х² + у² + х – 6у – = 0. Выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения:

х² + х + + у² – 6у + 9 – – 9 – = (х + )² + (у – 3) ² = 5².

Центр окружности находится в точке О(– ; 3), а радиус R = 5.

Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х² + у² – 6х + 4у – 12 = 0,

проведенных из точки М (0; 3).

• Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx +3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у :

х² + у² – 6х + 4у – 12 => (х – 3) ² + (у + 2) ² = 25.

Для нахождения общих точек прямой и окружности надо решить систему уравнений . Имеем: (х – 3) ² + (kx +3 + 2) ² = 25, т.е.

х²– 6х + 9 + k²x² + 10kx + 25 = 25, поэтому (k² + 1) x² + (10k – 6) x + 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т.е. (5k – 3) ² – 9(k² + 1) = 0, откуда k₁ = 0, k₂ = . Значит, у = 3 и у = х + 3 – искомые уравнения.

Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки

(–1; 3), (0; 2), (1; –1).

• Уравнение окружности ищем в виде (х – a)² + (у – b) ² = R². Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения

a, b и R: . Из первых двух уравнений получаем (–1 – a)² + (3 – b) ² = a² + (2 – b) ², т.е. 1 + 2a + a² + 9 – 6b + b² = a² + 4 – 4b + b² , поэтому

a – b = –3; из второго и третьего уравнений системы получаем

a² + (2 – b) ² = (1 – a)² + (–1 – b)², отсюда a – 3b = –1. Решая систему уравнений , находим a = –4, b = –1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = R², т.е. R² = 25.

Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)² + (у + 1)² = 25.

Эллипс

Эллипс – множество точек плоскости,

с умма расстояний от каждой из которых до

д вух данных точек – фокусов эллипса –

в еличина постоянная, большая, чем

р асстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

+ = 1, (2)

а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.

Координаты фокусов: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с² = а ² – b².

Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение ε = (ε < 1, т.к. с < а ).

Фокальные радиусы: r₁ = а + εх, r₂ = а – εх (r₁ + r₂ = 2а).

Директрисами эллипса называются прямые l₁ и l₂ параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; уравнения директрис: х = – , х = .

Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x² + y² = а².

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид,

и зображенный на рисунке. В этом случае:

b > a, с² = b ² – a², ε = , уравнения директрис у = .

Уравнение эллипса с осями, параллельными

к оординатным:

+ = 1,

г де (х₀; у₀) – координаты центра эллипса.

Параметрические уравнения эллипса:

, t [0; 2π].

t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей

центр эллипса с его точкой М.

Пример 4. Показать, что уравнение 4х² + 3у² – 8х + 12у – 32 = 0 определяет эллипс,

найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

• Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):

4х² + 3у² – 8х + 12у – 32 = 4(х²– 2х + 1 – 1) + 3( у² + 4у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)² + 3(у + 2)² = 48,

т.е. + = 1. Получили каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого имеет координаты (1; –2). Из уравнения находим: а² = 12,

а = 2 и b² = 16, b = 4 (b > a). Поэтому с = = = 2. Эксцентриситет эллипса ε = = .

Пример 5. Дано уравнение эллипса 24х² + 49у² = 1176. Найти

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет эллипса;

4. уравнения директрис и расстояние между ними;

5. точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F₁ равно 12.

• Разделив правую и левую части уравнения на 1176, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1.

1) Отсюда а² = 49, b² = 24, т.е. а = 7, b = 2 .

2) с = = = 5. Следовательно, F₁ (–5; 0) и F₂ (5; 0).

3) a > b = > ε = = .

4) Уравнения директрис имеют вид: х = ± = ± = ± .

Расстояние между ними d = – = = 19,6.

5) По формуле r₁ = a + ε x находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F₁ равно 12: 12 = 7 + х, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: 24 · 49 + 49у² = 1176, 49у² = 0, у = 0.

Условию задачи удовлетворяет точка А (7; 0).

Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А(2; – 4 ) и

В(–1; 2 ).

• Уравнение эллипса ищем в виде + = 1. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим два уравнения для определения a и b: + = 1 и + = 1. Умножая второе уравнение на (–4) и складывая с первым, находим – = –3, т.е. b² = 64. Подставляя полученное значения b² в первое уравнение, получаем + = 1, откуда а² = 16.

Т.о., искомое уравнение эллипса есть + = 1.

Пример 7. Найти уравнение касательной к эллипсу + = 1 перпендикулярно

прямой х – у + 50 = 0.

• Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с.

Угловой коэффициент k найдем из условия k · k₁ = –1 перпендикулярности прямых, где k₁ – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k₁ = 1 (у = х + 50), то

k = –1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = –х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений .

Получаем + = 1, т.е. 5х² – 8сх + 4с² – 20 = 0. Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

64с² – 4 · 5(4с² – 20) = 0 или 4с² – 5(с² – 5) = 0. Значит, есть два решения:

с₁ = 5 и с₂ = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные:

у = –х + 5 и у = –х – 5.

Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая

ось равна 2 . Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от

ближайшего конца фокальной оси.

• Уравнение эллипса имеет вид + = 1, b > a. По условию задачи 2а = 2 , т.е. а = , и с = . Т.к. с² = b² – a², то получаем: = b² – 3, т.е. b² = 4. Т.о., уравнение эллипса есть + = 1.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек

п лоскости, модуль разности расстояний от

к аждой из которых до двух заданных точек –

ф окусов, есть величина постоянная, меньшая,

чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

– = 1, (3)

а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

Координаты фокусов: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с² = а ² + b² .

Точки A и B – вершины гиперболы, точка О – центр гиперболы, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситет гиперболы: ε = (ε > 1, т.к. с > а ).

Фокальные радиусы:

для правой ветви гиперболы: r₁= а + εх, r₂ = -а + εх (| r₁ – r₂| = 2а),

для левой ветви гиперболы: r₁= –а – εх, r₂= а – εх (| r₁ – r₂| = 2а),

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны соответственно 2а и 2b и параллельны осям гиперболы, называется прямоугольником гиперболы. Диагонали прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы. Они определяются уравнениями:

у = х.

Директрисами гиперболы называются прямые l₁ и l₂ параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; их уравнения:

х = – , х = .

Если а = b, то гипербола (3) называется равносторонней:

x² – y² = а².

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то

у равнение гиперболы имеет вид: – = -1. (4)

В этом случае: b > a, ε = , уравнения директрис

у = .

Гипербола (4) называется сопряженной гиперболе (3).

Уравнение гиперболы с осями, параллельными

к оординатным:

– = 1,

г де (х₀; у₀) – координаты центра гиперболы.

Пример 9. Дано уравнение гиперболы 5х² – 4у² = 20. Найти

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет гиперболы;

4. уравнения асимптот и директрис;

5. фокальные радиусы точки М (3; 2; 5).

• Разделив правую и левую части уравнения на 20, получим каноническое уравнение гиперболы: – = 1. Отсюда

1) а² = 4, b² = 5, т.е. а = 2, b = .

2) с = = = 3. Следовательно, F₁ (–3; 0) и F₂ (3; 0).

3) ε = = .

4) Уравнения асимптот и директрис имеют вид: у = ± х и х = ± = ± = ± .

5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0 ), следовательно,

r₁ = 2 + · 3 = 6,5, r₂ = –2 + · 3 = 2,5.

Пример 10. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и

расстояние между равно 10, а длина действительной оси равна 8.

• Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2с = 10, т.е

с = 5; 2b = 8, b = 4.

Т.к. с² = a² + b ², то получаем: 25 = a² + 16, т.е. a² = 9, a = 3. Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Пример 11. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках

F₁ (-2; 4) и F₂ (12; 4), а длина мнимой оси равна 6.

• Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2b = 6, т.е b = 3. 2b = 8, b = 4. Расстояние между фокусами равно 14, т.е. 2с = 14, с = 7.

Т.к. с² = a² + b ², то: 49 = a² + 9, т.е. a² = 40, a = 2 . Центр гиперболы делит расстояние между фокусами пополам. Поэтому

х₀ = = 5, у₀ = = 4.

Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Пример 12. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет

равен 2.

• Уравнения асимптот гиперболы: у = ± х . Найдем отношение : ε = 2,

ε = = = . Отсюда = ε² – 1, т.е. = . Имеем: = = . Т.о., уравнения асимптот гиперболы есть у = ± х . Угол φ между асимптотами найдем по формуле tg φ = = = , φ = .

Пример 13. Дан эллипс 5 х² + 8у² = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины

которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, записав его

уравнение в канонической форме + = 1. Имеем а² = 8,

а = 2 ; b² = 5, а = .

Из соотношения с² = a² – b ² находим с: с² = 8 – 5, с = . Можно записать:

А (2 ; 0), В (–2 ; 0), F₁ (– ; 0) и F₂ ( ; 0). Обозначим через а_g, b_g, c_g – соответственно полуоси гиперболы и половину расстояния между ее фокусами. Тогда, согласно условиям задачи, можно записать: а_g = OF₂, т.е. а_g = и c_g = ОА, т.е. c_g = 2 . Из соотношения = + находим 8 = 3 + , поэтому = 5, b_g = . Подставляя найденные значения этому шения м задачрболы и половину расстояния между ее фокусами. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 а_g и b_g в уравнение гиперболы, находим

– = 1 – искомое уравнение гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество точек

п лоскости, каждая из которых равноудалена от

з аданной точки фокуса, и заданной прямой –

директрисы.

Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх, (5)

где р > 0 – параметр параболы – число, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l.

Координаты фокуса: F ( ; 0). Точка О(0; 0) – вершина

параболы; длина r отрезка FM – фокальный радиус точки М; ось Ох

– ось симметрии параболы.

Уравнения директрисы l параболы: х = - . Фокальный радиус r = х + .

Парабола, симметричная относительно

о си Оу и проходящая через начало координат,

и меет уравнение: х² = 2ру. Ее фокусом

я вляется точка F(0; ). Уравнения директрисы

у = - . Фокальный радиус r = у + .

Эскизы графиков других парабол:

у² = -2рх x² = -2рy (у – y₀)² = 2р(x – x₀) ↑ (x – x₀)² = 2р(y – y₀) ↑

(у – y₀)² = -2р(x – x₀) х – x₀)²=-2р(y–y₀)

Пример 14. Дана парабола х² = 4у. Найти координаты ее фокуса, уравнение

директрисы, длину фокального радиуса точки М (4; 4).

• Парабола задана каноническим уравнением. Следовательно, 2р = 4, р = 2. Используя вышеприведенные формулы, находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F(0; 1); уравнение директрисы имеет вид

у = –1; фокальный радиус точки М (4; 4) равен r = 4 + 1 = 5.

Пример 15. Найти вершину, фокус и директрису параболы у = –2х² + 8х – 5,

построить эскиз графика.

• Приведем уравнение параболы к каноническому виду, выделив в правой части полный квадрат:

у = –2(х² – 4х + ) = –2(х² – 4х + 4 – 4 + ) = –2((х – 2)² – ) = –2(х – 2)² + 3, т.е.

у = –2(х – 2)² + 3 или ( х – 2² = – (у – 3).

Уравнение параболы имеет вид, как на рисунке. Вершина

параболы имеет координаты (2; 3); 2р = , р = .

Прямая х = 2 является осью симметрии параболы.

Координаты фокуса х = 2, у = 3 – = , т.е. F (2; ).

Уравнение директрисы у = 3 + = 3 + , т.е. у = .

Пример 16. Найти уравнение касательной к параболе у² = 4х, проведенной из

точки А (–2; –1).

• Уравнение прямой ищем в виде y = kx + b. Т.к. точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение касательной, получим:

–1 = –2k + b. Далее, эта прямая и парабола имеют единственную точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставим в левую часть полученного равенства вместо у² его выражение из второго уравнения. Получим k² x² + 2kbх + b² = 4x. Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Т.о., = (kb – 2)² – k² b² = 0 или 4kb = 4, b = . Искомые значения параметров k и b находятся как решения системы , из которой получаем

–2k² + k + 1 = 0 и k₁ = 1, k₂ = – . Система имеет два решения: и . Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи: y = x + 1 и y = – x – 2.

47