- •Экзамен по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (теоретическая часть) Оглавление
- •2 . Примеры сопряженных семейств распределений.
- •5. Функции потерь. Ожидаемые потери. Апостериорные ожидаемые потери. Свойство решающего правила быть байесовским при условии минимизации апостериорных ожидаемых потерь.
- •6. Классическая схема проверки гипотез. Основная и альтернативная гипотезы. Ошибка первого рода и ошибка второго рода, их вероятности. Уровень значимости.
- •7. Проверка гипотез как задача теории статистических решений. Пример совпадения байесовского решающего правила и классического подхода к проверке гипотез.
- •8. Доверительные интервалы. Множества наивысшей апостериорной плотности. Доверительные множества наивысшей апостериорной плотности.
- •Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае нормальной генеральной совокупности и известной дисперсии.
- •9. Затраты на наблюдения и понятие общего риска. Определение оптимального размера выборки до начала наблюдений. Примеры.
- •10. Определение оптимального размера выборки в процессе наблюдений. Последовательный критерий отношения вероятностей.
7. Проверка гипотез как задача теории статистических решений. Пример совпадения байесовского решающего правила и классического подхода к проверке гипотез.
8. Доверительные интервалы. Множества наивысшей апостериорной плотности. Доверительные множества наивысшей апостериорной плотности.
Пусть имеется выборка X1...Xn из некоторого закона распределения, и мы хотим оценить параметр этого закона θ – это может быть, например, математическое ожидание или дисперсия. Доверительным интервалом для параметра θ с уровнем доверия β мы будем считать такой интервал (A; B), что P(A<θ<B) = β. Задача интервального оценивания – найти такие границы A и B.
То, что следует запомнить: доверительный интервал тем шире, чем выше уровень доверия.
Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае нормальной генеральной совокупности и известной дисперсии.
Выражение для 100(1-α)% доверительного интервала для μ, рассчитываемое по набору наблюдений x1...xn при знании дисперсии σ2:
(1)
,где - это среднее, рассчитанное по имеющемуся набору наблюдений.
Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае нормальной генеральной совокупности и неизвестной дисперсии. В случае неизвестной дисперсии 100(1-α)% доверительный интервал для математического ожидания имеет следующее выражение:
(2)
Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае большого объёма выборки. Доверительный интервал для математического ожидания свободно распределённого признака (случайной величины) при неизвестной дисперсии и большом объёме выборки может быть записан так:
(3)
Здесь z, такое число, что , .
Доверительный интервал для доли объектов с заданным свойством в генеральной совокупности (p) в случае большой выборки. Выборочное среднее в этом случае есть выборочное отношение .
По таблицам стандартного нормального распределения найдём число z, такое что . Таким оборазом, выражение для 100(1-α)% доверительного интервала для p:
(4)
Доверительный интервал для дисперсии (σ2) в случае нормальной генеральной совокупности. Нам понадобятся числа и , такие что и .
.
100(1- α)% доверительный интервал для дисперсии выглядит так:
. (5)
Доверительный интервал для разности математических ожиданий в случае нормальной генеральной совокупности: парные наблюдения
, (6)
где - как и раньше, такое число, что (т.е. U имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы) или, иначе, .
Выражение (6) – это и есть выражение для доверительного интервала для разности математических ожиданий.
Доверительный интервал для разности математических ожиданий в случае нормальной генеральной совокупности и известных дисперсий: независимые выборки.
Рассмотрим случайную величину – разность выборочных средних: . Её математическое ожидание равно оцениваемому параметру:
.
Её дисперсия выражается следующим образом:
.
(7)
Доверительный интервал для разности математических ожиданий в случае нормальной генеральной совокупности, неизвестных дисперсий и большого объёма выборки: независимые выборки. В данном случае мы можем пользоваться выражением (7), подставляя туда выборочные дисперсии на место истинных:
(8)
Доверительный интервал для разности математических ожиданий в случае нормальной генеральной совокупности и неизвестных (но равных между собой) дисперсий: независимые выборки.
(9)
Здесь , а - такое число, что , где - случайная величина, имеющая t-распределение со степенями свободы (nX+nY-2). Соответственно, .
Множества наивысшей апостериорной плотности. Доверительные множества наивысшей апостериорной плотности.
Пусть условная функция плотности f(x|θ) – это функция плотности нормального распределения с известным ожиданием и с точностью θ,
Найдем апостериорную функцию плотности :