Расчет индукции магнитного поля

Краткие теоретические сведения

В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока в точке наблюдения может быть найдена по формуле

. (6.1)

Если ток распределен по некоторому объему, то его магнитное поле рассчитывают как

, (6.2)

где – плотность тока. Переход от линейных токов к объемным осуществляется с помощью формального перехода

. (6.3)

При нахождении индукции магнитного поля, создаваемого несколькими токами, используют принцип суперпозиции

, (6.4)

если ток распределен по линии или объему, то от суммирования необходимо перейти к интегрированию (по линии или объему).

Учитывая, что электрический ток есть упорядоченное движение заряженных частиц, запишем индукцию магнитного роля, создаваемого при движении одной частицы

. (6.5)

Циркуляцией вектора магнитной индукции называется интеграл вида. В соответствии с теоремой о циркуляции (или законом полного тока) циркуляция вектора магнитной индукции по произвольной замкнутой кривойравна произведению магнитной постояннойна суммарный ток, пронизывающий площадку, ограниченную данным контуром

. (6.6)

При расчете циркуляции удобно пользоваться проекцией вектора магнитной индукции на касательную к контуру в данной точке . В таком случае математическая запись теоремы о циркуляции примет следующий вид

.(6.7)

Если магнитное поле, параметры которого мы определяем, создано в некоторой среде, то теорему о циркуляции записывают для вектора напряженности электрического поля

, (6.8)

где – сумма макроскопических токов, пронизывающих контур.

В однородном изотропном магнетике индукция магнитного поля связана с напряженностью материальным уравнением

. (6.9)

На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции непрерывна –, тангенциальная составляющая терпит разрыв

, (6.10)

, (6.11)

где – плотность поверхностных токов на границе раздела магнетиков.

На элемент тока в магнитном поле действует сила Ампера

, (6.12)

а на движущийся заряд – сила Лоренца

. (6.13)

Темы для развернутых ответов

1. Индукция магнитного поля.

2. Теорема о циркуляции и ее применение для расчета полей.

3. Магнитное поле в веществе. Граничные условия.

4. Силы в магнитном поле.

Литература:[1], глава 6, §35; [3], глава 4, §42-45, 47; глава 5, §60-62.

Основной блок задач

1. Вычислите индукцию магнитного поля в центре кругового токарадиусом.

2. Дан круговой ток радиусом. В центре кругового тока восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Точка наблюдения находится на расстоянииот плоскости тока на перпендикуляре. Найдите индукцию магнитного поля в точке наблюдения.

3. Дан прямой длинный проводник, по которому течет ток I. Найдите индукцию магнитного поля в точке наблюдения, находящейся на расстоянииrот провода, считая, что он находится в среде с магнитной проницаемостью.

4. Найдите индукцию магнитного поля в коаксиальном кабеле, используемом для передачи постоянного тока. Ток течет по центральной жиле и возвращается по оболочке. Радиус центральной жилы r₁, внутренний и внешний радиусы оболочки –r₂иr₃. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.

5. Точечный заряд движется со скоростью. Покажите, что в произвольной точке наблюдения.

Дополнительный блок задач

6. Дан круговой виток радиусом с током. Найдите интегралвдоль оси витка в пределах отдо.

7. Дан бесконечный полый цилиндр. Ток равномерно распределен по поверхности цилиндра и направлен вдоль его оси. Найдите индукцию магнитного поля на оси цилиндра.

8. Определите магнитную индукцию в центре шара радиуса , равномерно покрытого очень большим числомвитков тонкой проволоки, по которой течет ток.

9. Сфера радиуса , имеющая заряд с поверхностной плотностью, вращается вокруг диаметра с угловой скоростью. Найдите индукцию магнитного поля, возникающего в центре сферы.

10. Принимая орбиту электрона в невозбужденном атоме водорода за окружность радиуса 53 пм, определите индукцию магнитного поля, создаваемого им в центре орбиты.

11. Однородный ток плотности течет внутри неограниченной пластины толщинойпараллельно ее поверхности. Пренебрегая влиянием вещества пластины, найдите индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния от средней плоскости пластины.

12. Точечный заряд движется со скоростью 900 м/с. В некоторый момент в точке наблюдения Р напряженность поля этого заряда составляет 600 В/м, а угол между скоростью движения и напряженностью составляет 30º. Найдите индукцию магнитного поля, создаваемого этим зарядом в точке наблюдения.

13. Пусть два положительных точечных заряда идвижутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью. Найдите отношение магнитной силы к электрической, действующей со стороны первого заряда на второй.

14. Дан длинный соленоид, имеющий Nвитков и длинуl. Магнитная проницаемость сердечника. Найдите индукцию магнитного поля внутри соленоида, считая, что его поле внутри однородно, а вне – равно 0.

15. На сердечнике в виде тора диаметром dимеется обмотка с общим числом витковN. В сердечнике есть узкая прорезь ширинойb. При токеIв обмотке магнитная индукция в прорезиB₀. Найдите магнитную проницаемость сердечника.

Практическое занятие №7