- •А.В. Дюндин
- •Введение
- •Расчет напряженности электрического поля
- •Потенциал электрического поля
- •Прямая и обратная задачи электростатики
- •Энергия заряженного тела и электрического поля
- •Емкость уединенного проводника и системы проводников
- •Расчет индукции магнитного поля
- •Расчет магнитных полей с помощью векторного потенциала Решение прямой и обратной задач магнитостатики
- •Закон электромагнитной индукции Фарадея
- •Энергия магнитного поля и расчет индуктивности проводников
- •Законы Ома и Джоуля-Ленца
- •Квазистационарные явления в электрических цепях
- •Переменное электромагнитное поле
- •Электромагнитные волны
- •Основы специальной теории относительности
- •Основы релятивистской динамики
- •Пространство Минковского и четырехмерные векторы
- •Элементы релятивистской электродинамики
- •Математические основы электродинамики
Расчет магнитных полей с помощью векторного потенциала Решение прямой и обратной задач магнитостатики
Краткие теоретические сведения
Для решения системы уравнений Максвелла в магнитостатическом случае вводится понятие векторного потенциала , который определяется как решение уравнения
, (7.1)
. (7.2)
На векторный потенциал для однозначности определения накладывается ограничение – кулоновская калибровка
. (7.3)
Решение системы дает нам уравнение Пуассона
, (7.4)
где – вектор плотности тока.
В соответствии с определением векторный потенциал в общем случае можно рассчитать как
. (7.5)
Прямой задачей магнитостатики является расчет векторного потенциала и индукции магнитного поля по известному распределению токов, а обратной – нахождение распределения токов по известному векторному потенциалу.
Темы для развернутых ответов
Векторный потенциал. Пояснить связь с индукцией магнитного поля.
Уравнение Пуассона для векторного потенциала. Привести пример решения.
Литература:[1], глава 6, §37; [3], глава 4, §46-47.
Основной блок задач
В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю , а третья имеет видприипри, гдеи– постоянные. Найдите распределение объемной плотности тока, создавшего магнитного поле с данным потенциалом.
Шар радиуса , равномерно заряженный с объемной плотностью заряда, вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью. Найдите векторный потенциал и напряженность магнитного поля внутри и снаружи шара.
Дополнительный блок задач
Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону , где векторыиудовлетворяют соотношению. Найдите векторный потенциал и напряженность магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.
Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид приипри, где постоянный векторпараллелен осиZ,– постоянная, а целое положительное числобольше единицы. Найдите векторный потенциалмагнитного поля в каждой точке пространства.
Практическое занятие №10
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Краткие теоретические сведения
М. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока вектора магнитной индукции, охватываемого контуром. Позднее Э.Х. Ленц сформулировал правило, определяющее направление индукционного тока, математическую запись закона электромагнитной индукции с учетом правила Ленца предложил Ф.Э. Нейман –
, ()
где – поток вектора магнитной индукции через площадь контура,
. ()
В дифференциальной форме математическая запись закона электромагнитной индукции представляет собой одно из уравнений Максвелла –
. ()
Замкнутый контур может создавать поток вектора магнитной индукции и за счет собственного тока. Соответственно, при изменении тока изменяется и поток, возникает индукционный ток. Это явление называется самоиндукцией. Учитывая связь магнитного потока с силой тока
, ()
где – индуктивность контура, для явления самоиндукции получаем
. ()
Темы для развернутых ответов
Закон электромагнитной индукции Фарадея.
Явление самоиндукции и его применение.
Литература:[1], глава 8, §45; [3], глава 6, §77.
Основной блок задач
По длинному проводнику течет ток . В магнитном поле этого тока находится квадратная проволочная рамка сопротивлениеми стороной. Центр рамки находится на расстоянииот проводника с током. Нормаль к плоскости рамки и вектор магнитной индукции составляют угол. Какой заряд протечет в рамке за время изменения тока в проводнике от первоначального значения до 0? (Магнитным полем индукционного тока в рамке пренебречь.)
В магнитном поле бесконечно длинного прямого проводника с током находится прямоугольная рамка, сделанная из металлической проволоки, со сторонами и, причем сторонапараллельна проводу с током. Ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии. Определите среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее удалять от проводника с током параллельно самой себе на расстояниеотносительно первоначального положения со скоростью.
В магнитном поле бесконечно длинного проводника с током со скоростьюдвижется проводник длинойпо направлению, перпендикулярному току. Проводник во время движения остается параллельным току. Найдите ЭДС индукции в проводнике при любом законе движения? Каким должен быть закон движения проводника, чтобы ЭДС индукции оставалась постоянной?
Дополнительный блок задач
Индукция магнитного поля изменяется по закону . Вектор магнитной индукции перпендикулярен площадке, ограничивающей его магнитный поток. На расстоянииот центра площадки находится заряженная частица с зарядоми массой. Определите тангенциальное ускорение этой частицы.
Два металлических диска радиусом , расположенные друг против друга на расстоянииодин от другого, вращаются в противоположных направлениях с угловой скоростьюв однородном магнитном поле, вектор индукциикоторого перпендикулярен плоскостям дисков. Найдите заряд полученного таким образом конденсатора и силу притяжения дисков.
Практическое занятие №8