Интегральные методы оценки качества.

Они представляют собой обобщенные показатели качества переходного процесса и чаще всего для них пользуются показателем динамической ошибки – ошибка в текущий момент времени переходного процесса.

1. В качестве интегральной оценки можно использовать следующую величину

Которая дает результаты, используемые только в случае монотонного переходного процесса и апериодического.

– динамическая ошибка.

Данный показатель позволяет путем сравнения разных систем узнать какая система обладает меньшим I₁ .

2. 

Характеризует площадь под кривой , модуль для того чтобы учесть отрицательную составляющую ошибки.

3. Наиболее удобныя является I₃, который можно применять и к монотонным и к колебательным системам. Он так же позволяет оценить затраты энергии на совершение переходного процесса:

В общем виде интегральная оценка может быть записана в следующем виде:

Все интегралы вычисляются по коэффициентам уравнения системы или по передаточным функциям. Расчеты носят, как правило, сравнительный характер и из условия минимизации какого-либо интеграла можно подобрать параметры системы.

Коэффициенты ошибки

Точность работы САУ оценивают ошибкой ε_в(t), которая есть разница между Y_B(t)-X_B(t), где Y_B(t) – вынужденная составляющая выходной величины, а X_B(t) – управляющее воздействие или требуемое значение выходной величины.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

Отсюда найдем изображение ошибки по Лапласу:

Разложим переходную функцию по ошибке вряд и перейдем от изображения к оригиналам, в результате получим:

Коэффициенты с₀, с₁, с₂ и так далее называют коэффициентами ошибки, которые определяются по формулам разложения функции в ряд Тейлора, причем определяются как частные производные:

Пример

Первые три коэффициента ошибок с₀, с₁, с₂ получили специальные названия:

С₀ – коэффициент статической ошибки

С₁ – Коэффициент скоростной ошибки

С₂ – коэффициент ошибки по ускорению

При это с₀ будет присутствовать только в статических системах, с₁ – в астатических системах 1-го порядка, с₂ – в астатических системах 2-го порядка.

Диаграмма Вышнеградского.

Применяется только для система 3-го порядка. Выпишем знаменатель функции передаточной системы:

Приведем данное уравнение к нормированному виду, для чего разделим все члены уравнения на a₃ и введем новую переменную:

В результате получим:

Отсюда:

Для данной новой системы проведем построение областей устойчивости при изменении коэффициентов А и В, в результате получим:

Полученные кривые ограничивают возможные способы расположения корней для разных А и В, то есть выше границы устойчивости все корни левые, ниже – правые, на границе устойчивости – либо на вещественной, либо на мнимой оси.

Пространство состояний.

Математическая модель системы или процесса, отражает в той или иной мере свойства реальной системы, в том числе разрабатывается на специализированном языке (математическом) и имеет количественное описание.

Моделирование – это процесс проведения экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на самой системе.

В настоящее время моделирование наиболее широко применяется способ научного познания реальной деятельности. Очень часто моделирование это единственное возможное средство познания реальных систем.

Состояние математической модели может быть представлено в виде элемента х множества возможных состояний Х. Множество Х можно рассматривать как пространство состояний системы или процесса.

Метрическое пространство – множество Х, которым задано расстояние между двумя элементами этого множества в виде действующей функции ρ(х, у) удовлетворяет трем аксиомам:

1. ρ(х, у)≥0 при любых х и у, причем ρ(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х=у.

2. ρ(х, у)= ρ(у, х) – аксиома симметрии

3. ρ(х, s)≤ ρ(х, у)+ ρ(y, s) – аксиома треугольника.

Пространство состояний в теории динамических систем и теории управления используется для исследования устойчивости и оптимизации. Во всех этих случаях необходимо введение метрики (определение расстояния) в этом пространстве.

Пространством состояний называют метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой системы или процесса.

Рассмотрим уравнение движения произвольной САУ, скорость движения

Где х – координаты системы, частью которых можно управлять с помощью m уравнений u₁…u_{m .}

f – некоторая функция всех передаточных аргументов

Функция выходных сигналов так же зависит от тех же параметров:

f₂ – некоторая функция координат системы а так же внешних возмущений и управляющих воздействий

Можно задаться векторной записью этих двух уравнений

Х=f₁(X, U, t) Y=f₂(X, U, t)

–вектор состояния системы

– вектор внешних воздействий

– вектор выходных сигналов САУ

Запишем уравнение линейной системы в пространстве состояний. Рассмотрим базовые уравнения в теории линейных систем.

Где А – матрица размером nxm, B – матрица размером mxn, С – матрица размером kxn, D – матрица размером kxm.

В стационарных системах A, B, C, D являются постоянными

Запишем эту систему с учетом оператора дифференцирования:

Представим данную систему уравнений в виде структурной схемы САУ в пространстве состояний:

Определим передаточную функцию и передаточную матрицу в пространстве состояний. Для получения передаточной функции используем стандартные преобразования Лапласа для обыкновенных линейных систем. После применения преобразования Лапласа к уравнению системы в пространстве состояний последняя примет вид:

Где Е – единичная матрица.

Из этого уравнения следует, что изображение вектора состояний САУ определяется как:

Отсюда получаем взаимосвязь между вектором входных сигналом и вектором состояний системы:

Данная взаимосвязь и будет являться искомой передаточной функцией, она представляет собой матрицу размерности mxn, каждый элемент, каждый элемент который является передаточной функцией для компонентов вектора состояний с номером i относительно компонента вектора состояний входных сигналов с номером j. С учетом этого вектор выходных сигналов:

Рассмотрим некую систему описываемую переменным состоянием вида:

Позволяющие по начальным значениям переменных в начальный момент времени и по заданным воздействиям определить будущее значение переменного состояния и выходных переменных:

Тогда уравнение движения произвольной автоматической системы управления:

Система уравнений первого порядка будет являться системой уравнений переменных состояний для рассматриваемой системы:

Если предположить что функции от f₁ до f_n линейные относительно всех переменных и не зависит от времени, то их можно привести к следующему виду:

В матричном виде это выглядит: